当 *时，“可调系统” 与模 “型 对象”模型完
“匹配”。 将a*(s) , b*(s) 代入“可调系统” 模， 型则 参数辨时
(s) (s)
的结构图P2（ 9图）变F为ig2.（ 7 P37书）
km 再求 a*(s):知b*(s)，使 (3)式满足。
3、 证明上面a*所 (s)， 求 b*(s的 )是唯一的。
4、滤波器 a*((ss)),b*((ss))的描述：设系统矩阵
R(n1)(n1),控制向b量 Rn1为能控标准型。
*A为 系 统 的 系 统 矩 阵 ， 为 滤 波 器 的 系 统 矩 阵 ， 勿 混 淆 。
e1(t) ym(t) yp (t) 代入(1)、(4)得：
e1(t) ame1(t) kmT (t)w(t)(5)
任务：基于Lyapuno稳v 定理论，设计参a数0(t)、b0(t) 的自适应调整律，使分微方程(5)渐近稳定。
即：当t ,e1(t) 0,(t) 0
构 Ly 造 函 aV p ( e 1 , 数 ) u 1 2 e 1 2 ( n t ) ： k 2 m o T ( t ) v ( t ) 0 计算：V (e1, ) e1(t)e1(t) km (t)(t) 代入（5） ame12 (t) kme1 (t)T w(t) km (t)T 如果选择：(t) e1(t)w(t)作为的自适应律
(1)
km N m (s)
又
P(s)
Y p (s) R(s)
a*(s) (s)
1
Dm (s) km N m (s)
b*(s)
Dm (s) (s)
kma*(s) 0(s)Dm (s) kmb*(s)
(2)
即
kp
N p(s) D p(s)
kma*(s) 0(s)Dm (s) kmb*(s)
－
yp
自适应控制
e
基本思路：根据系统的等效误差运动方程 ，找出 (构造)一个适当的Lyapunov函数，确定 自适应律，以保证
V dvt,x0
dt
优点：可保证全局稳定，自适应速度快。 缺点：难以同时保证动态特性，V(x,t)难构造，常
用试探法寻找。
第二节 模型参考自适应辨识
3.2.1 概述 3.2.2 一阶系统的模型参考自适应辨识 3.2.3 一般高阶系统的模型参考自适应辨识 3.2.4 线性误差方程及其参数辨识算法
p(s)
r (t )
kp
y p (t )
s ap
－ e1(t)
a0(t)
前馈
M (s)
＋ u(t) k m
－
s am
＋
ym (t )
反馈 b0(t) 可调系统
其中：
模型的输入控制u t为
u t a0 t r t b0 t y p t
3
可调系统状态方程为
ymt am ymt kma0 t r t kmb0 t y p t 4
则 ： G C sI -1 B D
0
0
b
0
1 n 11
a、传递函数描述：
前馈滤波器：
a*(s)
(s)
a
* 0
a
*T
(sI
) 1b
w (1) (s) R(s)
反馈滤波器：
b*(s)
(s)
b0*
b *T
(sI
)1b
w (2) (s) y p (s)
b、状态方程描述： w (1) w (1) b r
yp Cxp
模 型 匹 配 的 条 件 自适应律 lim e t 0 t
或 J e2 t dt m in
状 态 误 差 向 量 ： e t xm t xp t
定义
状 态 广 义 误 差 ： e
输
出
广
义
误
差
：
e
xm ym
首1多项式：复变量 s的最高次项的系数1的多项式。 Hurwitz多项式：稳定多项式，其根都在开左半 s平面
内。 稳定的：有理传递函数分母为Hurwitz多项式。 最小相位或逆稳的：有理传递函数为分子是Hurwitz 多 项式。 非最小相位的或逆稳的：有理传递函数为分子不是 Hurwitz多项式。 相对阶次：传递函数分母多项式的阶次与分子多项式 阶次之差。
＊MRAC的结构具有对偶特点，它们既可用于自适应 模型跟随控制，也能用于自适应状态观测与辨识。
3.2.2 一阶系统的模型参考自适应 辨识
一、问题的提出
假设需要辨识的对象和参考模型分别由以下传递
函数和一阶微分方程来描述：
对象：p s
Yps
Rs
s
kp ap
y pt a p y pt k p r t
使J下降的方向为它的度负方梯向。
则 k c
B ' J kc
B'
t 0
2 e1
e1 kc
d
B
t
0 e1
e1 kc
d
k c
Be 1
e1 kc
而开环传函：
e(s)
(km
kck p )
z(s) R (s)
e1 (s ) r(s)
(1)
对应的微分方程为：
R ( p )e1 (k m k ck p ) z ( p )r
两边对 k c 求导： 又参考模型输出：
R ( p ) e1 kc
k pz( p)r
ym r
km
z( p) R ( p)
(2) (3)
比较 (2)(3) 式得：
e1 kc
kp km
ym
将 ( 4 ) 式代入
(1) 式，得：
k c
Be
1
kp km
ym
B e1 y m
即得自适应律
(4) (5)
小 结 ： 汇总公式.
输出误差方程： 参数误差方程： 自适应律：
e1 y m y p e1 a m e1 k m T
t t *
e1
a0 t e1 t r t b0 t e1 t y p t
4式 5 、 6 式 由 6式 来
三、自适应系统的结构 Fig2.2:自适应律的实现(1，2 ：自适应调整回路的增益) Fig2.3:自适应律的实现(整定 a0*, b0* ,使正常时e(t)=0，自
1
模 型 ：M
s
Ym s
U s
s
km am
ymt am ymt kmu t
2
控制目的：辨识对象的参数
a
，
p
k
p
,并
使
ymt与y pt相一致。
设置参数可调的控制器，与模型一起组成参数可调系统
反 前 馈 馈 可 可 调 调 增 增 益 益 u t 使 y m t 完 全 跟 踪 y p t
被控对象
组成
常规反馈控制器
自适应控制回路
控制要求：以参考模型的方式给出，表明被控对象的
理想输出应如反对输入信号作出响应。
自适应调整过程：直到et ym y 0为止。
r(t) ＋
＋
(xm ) 参考模型
干扰
控制器 u 被控对象
－
内环
ym (t)
＋ e(t)ymy
－ y p (t)
(xp)
外环 自适应律
0(s)Dm (s)
kmb*(s)
km kp
D p(s)
a*(s) D p(s)
(3)
先b求 *(s):设 0(s)D m(s)被 D p(s)除， q(s)表 用示商，
令余km 式 b*(s)为
则 0(s)Dm(s)q(s)Dp(s)kmb*(s) b*(s)0(s)Dm(s)q(s)Dp(s) (4)
xp yp
二、MRAC的几类设计方法
1、基于局部参数最优化理论的设计方法
u
参考模型
＋ ym (t)
e(t)
－
kp
对象
y p (t)
自适应机构
rr
z(s)
km R(s)
z(s)
kc
k p R(s)
ym
＋ e1
－
自适应律
yp
“MIT”方案
基本思想：采数 用优 局化 部参
优化方法：梯速 度下 法降 ，法 最， 拉牛普顿森法
u
被辨识过程
yp
－e
＋
可调模型 y m
自适应辨识器
结构特点：MRAC的对偶系统，即将参考模型与可调 过程位置互换。
基本思想：同MARC设计思想，即通过自适应控制器 来调整模型使e(t)0，这样的模型就是我 们要辨识的结果。
“对偶性 设质 计 M” RA 的C方法用于辨识 将模型参考辨 于识 设方 M计A 法R 。 用 C
为 使 ymt与 y pt完 全 一 致 ，
要
求
：
am kma0
kmb0 t t kp
a
p
设 计 自 适 应 律 ， 调 整 a 0 t ， b0 t ,使 上 式 满 足 ，
并 当 t 时 ， et 0.
二、 自适应律的推导
令：e1(t) ym(t) yp(t) 两边对时间求导：
0
1
0
0
0
0
1
0
1 2
0
0
n 1 n-1 n 1
其 中 ： 1
，
，
n
分
1
别
为
特
征
多
项
式
s
的
系
数
。
s det
sI
s n1
sn2 n 1
2 s 1
1
则 有 ： sI
-1 b