知识要点
★直接开平方法：对于形式如()n m x =+2
（n ≥0）的方程，根据平方根的意义，即两边同时开平方，变形为n m x ±=+，得到两个一次方程，解一次方程得到未知数的值。

★配方法：把一元二次方程通过配成完全平方式的方法转化为()n m x =+2
的形式，从而得到这个一元二次方程的根。

步骤如下：
(1)把常数项移到方程的右边；
(2) 把二次项系数化为1，(如果二次项系数不是1，给方程两边同除以二次项系数)
(3) 给方程两边都加上一次项系数的一半的平方
(4) 方程左边是一个完全平方式，将方程变形为()n m x =+2
的形式 在()n m x =+2中，当0>n 时，方程有两个不相等的实数根n m x n m x --=+-=21,。

当0=n 时，方程有两个相等的实数根m x x -==21。

当0<n 时，方程有两个相等的实数根。

★公式法：一元二次方程的求根公式：a ac b b x 242-±-=(b 2
-4ac ≥0)，步骤如下： (1) 把方程化为一般形式，进而确定a 、b 、c 的值（注意符号）
(2) 求出b 2-4ac 的值，（先判别方程是否有根）
(3)在b 2-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的值代入求根公式，求出a ac b b 242-±-的值，
最后写出方程的根。

★分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个因式的乘积时，令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，分别解之，得到的解就是原方程的解，这种解方程的方法称为分解因式法。

一般步骤如下：
(1) 把方程整理使其右边化为0；
(2) 把方程左边分解成两个一次因式的乘积；
(3) 令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；
(4) 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

提示：分解因式法应用面广，它不仅可以解一元二次方程，对高次的求解更有独到之处。

根的判别式：
b 2-4ac=△，当b 2-4a
c ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2-4ac ＝0时，方程有两个相
等的实数根；当b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。

即不解方程就可判断方程解的情况。

根与系数的关系: 由求根公式可知，a
c x x a b x x =⋅-
=+2121,，即不解方程可知方程的两根之和与两根之
积，利用此可解决一些关于两根之和、之积、两根的倒数和、两根平方和等一类的问题。

☆利用一元二次方程解决实际问题时，一元二次方程有两个根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，解完一元二次方程，要按题意检验这些根是不是符合实际问题的解。

易错易混点
(1) 用配方法解一元二次方程时，二次项系数化1时易错；(2) 不能确定a 、b 、c 的值，代入公式时，代入不准确； (3) 方程两边同除以一个含有未知数的式子。

1. 用配方法解方程：2x 2-4x-10=0
2. 解方程：8x 2+10x=3
3. 用分解因式法解一元二次方程：()()2222
-=-x x 典型例题
1. 当x 取___________时，x 2-5x+7有最小值，最小值是_____________。

2. 已知是方程2x 2-x-7=0的两根，则=___________。

3. 已知一三角形的两边长分别为1和2，第三边的长是方程2x 2-5x+3=0的根，则该三角形
的周长为_____________。

4. 已知方程01222=-++-a a ax x 有两个实数根，化简：a a a +++-2122。

5. 已知a 2-3a=1，b 2-3b=1，并且a ≠b ，那么
2211b a +=___________。

6. 一元二次方程x 2-px+q=0的两个根为3，-4，那么二次三项式x 2-px+q 可分解为（ ）
A. (x-3)(x+4)
B. (x+3)(x-4)
C. (x-3)(x-4)
D. (x+3)(x+4)
7. 若方程0122=++x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A. k ＞-1
B.k ≥-1
C. k ＞1
D. k ≥0
8. 用适当的方法解方程：
(1) ()25192
=+x ； (2) 012632=--x x ； (3) ()()2
2524329-=+x x ; (4) x 2-4x-6=0 9. 按要求解下列方程：
(1) x 2-3x=5 (用公式法解) (2) 8x 2+10x=3 (用公式法解)
(3) 2(x-2)2=x 2-4 (用因式分解法解) (4) (2x-1)(x+3)=4 (用因式分解法解)
学习自评
1. 方程4x 2+5=0的根是（ ） A. 25 B. 25- C. 2
5± D. 无实根
2. 用配方法将方程0542
=--a a 变形得（ ）
A. ()922-=-a
B. ()922-=+a
C. ()922=+a
D. ()922=-a 3. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x 2
-8x+7=0的两个根，则这个直角
三角形的斜边长是（ ） A.3 B. 3 C. 6 D. 9
4. 三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2-16x+60=0的一个实数根，
则该三角形的面积是（ ）
A. 24
B. 24或58
C. 48
D. 58
5. 已知()()152=+++y x y x ，则x+y 的值为（ ）
A. 3或5
B. 3或-5
C. -3或5
D. -3或-5
6. x 2-_________+9=(x-______)2；x 2-5x+6=(__________)(___________).
7. 若x 2+4x+m 2是一个完全平方式，则m 的值为___________。

8. 把方程()()222312-=+y y 化成一般形式为__________________。

9. 若a+b+c=0，则关于x 的方程ax 2+bx+c=0必有一根为___________。

10. 完成下列配方过程
：x 2+2px+1=[ x 2+2px+(_________)]+(________)=(x+______)2+(________).
11. 已知实数a 、b 、c 满足等式()02212=+-+++-c b a b a ，则方程ax 2+bx+c=0的
根是_________。

12. 若x 1，x 2是方程x 2-3x-2=0的两个根，则x 1+x 2=________，x 1+x 2=________，
x 12+x 22=________，=+2
111x x ___________。

13. 用适当的方法解方程：
(1) x 2+2x=2； (2) 4x 2-7x+2=0; (3) x 2+3x-4=0
(5) 2x 2-3x+8
1=0; (5) 2x(x+1)=3(x+1); (6) ()()2222181x x x x +=++ 14. (1)用配方法证明-10x 2+7x-4的值恒小于0；
(2) 由第(1)题，你能否得到启发而写出三个值恒大于0的二次三项式。

15. 三角形两边长分别是2和3，第三边是方程()6323-=-x x x 的解，求这个三角形的周
长
16. 在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下的部分
作为耕地，要使耕地的面积为540m 2，道路的宽为多少？
17. 某电脑公司今年每个月的销售量都比上个月增长相同的百分数，已知该公司今年4月份
的电脑销售量为500台，6月份比5月份多售出120台，求该公司今年销售量的月增长率是多少?。