《方程的根与函数的零点》的助学案
高一（8）班 授课教师
学习目标：1.掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系； 2零点的概念及零点存在性的判定
学习难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.
预习案：先来画出几个具体的一元二次方程对应的二次函数的图象，并观察二次函数与x
轴交点个数？○
1方程0322=--x x 与函数322--=x x y ;○2方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ;○
3方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y
探究案：
探究1：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

注意：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点． 零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的。

练习：求函数x x y 43-=的零点
是不是所有的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都有零点？ ac b 42-=∆ 02=++c bx ax 的实根 )0(2≠++=a c bx ax y 图像与x 轴交点 )
0(2≠++=a c bx ax y 有几个零点
∆>0
∆=0
∆<0
探究2:观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：
○1在区间()1,2-上有零点吗？______；=-)2(f _______，
=)1(f _______,)2(-f •)1(f _____0 （＜或＞）．
○2 在区间()4,2上有零点______；)2(f •)4(f ____0 （＜或＞）．
观察下面函数)(x f y =的图象
○1 在区间()b a ,上______(有/无)零点；)(a f •)(b f _____0（＜或＞）．
○2 在区间()c b ,上______(有/无)零点；)(b f •)(c f _____0（＜或＞）．
○3 在区间()d c ,上______(有/无)零点；)(c f •)(d f _____0（＜或＞）．
○4()a f •()c f _____0（＜或＞）．在区间()c a ,上______(有/无)零点？
○5()()d f a f • 0（＜或＞）。

思考：若函数)(x f y =满足()()0<•n f m f ，在区间],[n m 上一定有零点吗？
若函数)(x f y =满足()()0>•n f m f ，在区间],[n m 上一定有零点吗？
由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？
训练案
1、判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：
（1）已知函数y=f(x)在区间[a ，b]上连续，且f(a )·f(b)<0，则f(x)在区间
(a ，b)内有且仅有一个零点。

（ ）
（2）已知函数y=f(x)在区间[a ，b]上连续，且f(a )·f(b )≥0，则f(x)在区间
(a ，b)内没有零点。

（ ）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a ，b]满足f(a )·f(b)<0，则f(x)在区间(a ，b)
内存在零点。

（ ）
2.求函数f(x)＝lnx ＋2x －6零点的个数。

课堂总结
当堂检测：
1求下列函数的零点：
（1）302++-=x x y ； （2）)23)(2()(2
2+--=x x x x f
2.若函数y=f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0， f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是 （ ）
A.函数f(x)在区间（0，1）内有零点
B.函数f(x)在区间（1，2）内有零点
C.函数f(x)在区间（0，2）内有零点
D.函数f(x)在区间（0，4）内有零点
3．函数x e x f x 1
)(-=的零点所在的区间是（ ）
（A ） （0，21） （B ）（21
，1）
（C ）（1，23） （D ）（23
，1）
4.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点2,求函数
g(x)=bx2-ax 的零点。