三、解答题1．设对于事件A 、B C 、有=)(A P 4/1)()(==C P B P ，0)()(==BC P AB P ，8/1)(=AC P ，求A 、C B 、至少出现一个的概率。

解：由于，AB ABC ⊂从而由性质4知，0)()(=≤AB P ABC P ，又由概率定义知0)(≥ABC P ，所以0)(=ABC P ，从而由概率的加法公式得)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=Y Y8581341=-⨯= 2．设有10件产品，其中有3件次品,从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少解：设A 表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品”。

则510)(C n =Ω。

5件产品中恰有2件次品的取法共有23C 37C 种，即23)(C A n =37C 。

于是所求概率为P A n A n ()()/()==Ω23C 37C /84/35510=C3．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。

求：（1）第二次取出的是次品的概率；（2）两次都取到正品的概率；（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。

解：设i A 表示：“第i 次取出的是正品”（i =1，2），则（1）第二次取到次品的概率为)(2121A A A A P Y 611221221221210=⨯+⨯= （2）两次都取到正品的概率为 )(21A A P )|()(121A A P A P =362512101210=⨯=（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为)(21A A P 3651221210=⨯= 4．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。

求：（1）至少取到一个正品的概率；（2）第二次取到次品的概率；（3）恰有一次取到次品的概率。

解：设i A 表示：“第i 次取出的是正品”（i =1，2），则（1）至少取到一个正品的概率)(121A A P -)|()(1121A A P A P -=66651111221=⨯-= （2）第二次取到次品的概率为 )(2121A A A A P Y )|()()|()(121121A A P A P A A P A P +=611111221121210=⨯+⨯= （3）恰有一次取到次品的概率为)(2121A A A A P Y )|()()|()(121121A A P A P A A P A P +=331011101221121210=⨯+⨯= 5．一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：（1）两件都是正品的概率；（2）恰有一件次品的概率；（3）至少取到一件次品的概率。

解：设A 表示：“取出的两件都是正品是正品”；B 表示：“取出的两件恰有一件次品”； C 表示：“取出的两件至少取到一件次品”；则 （1）两件都是正品的概率)(A P 2215212210==C C （2）恰有一件次品的概率)(B P 331021212110==C C C （3）至少取到一件次品的概率)(C P 227221511)(1212210=-=-=-=C C A P 6．一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是，乙机床和丙机床需要照看的概率分别是和。

求在一小时中，（1）没有一台机床需要照看的概率；（2）至少有一台机床不需要照看的概率。

解：设A 表示：“没有一台机床需要照看”；B 表示：“至少有一台机床不需要照看“；i C 表示：“第i 台机床需要照看”（i =1，2，3）。

则321C C C A =；321C C C B Y Y =。

)()(321C C C P A P =)()()(321C P C P C P =04.0))(1))((1))((1(321=---=C P C P C P)()(321C C C P B P Y Y =)(321C C C P =)(1321C C C P -=76.0)()()(1321=-=C P C P C P7．在某城市中发行三种报纸A 、C B 、，经调查，订阅A 报的有50%，订阅B 报的有30%，订阅C 报的有20%，同时订阅A 及B 报的有10%，同时订阅A 及C 报的有8%，同时订阅B 及C 报的有5%，同时订阅A 、C B 、报的有3%，试求下列事件的概率：（1）只订阅A 及B 报；（2）恰好订阅两种报纸。

解：（1）)()()(ABC AB P C AB P C AB P -=-=)()(ABC P AB P -=07.003.01.0=-=（2）))()()()(C B A P BC A P C AB P C B A BC A C AB P ++=Y Y14.005.002.007.0=++=8．一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%，从中任取一球，结果不是红球，求：（1）取到的是白球的概率；（2）取到的是黑球的概率。

解：设A i 分别表示：“取到的是黑球、红球、白球”（i =1，2，3），则问题（1）化为求)|(23A A P ；问题（2）化为求)|(21A A P 。

由题意A A A 123、、两两互不相容，所以，（1）)()()(32323A P A A P A A P =-=。

因此由条件概率公式得)|(23A A P ==)()(223A P A A P 723.012.0)()(23=-=A P A P （2）)()()(12121A P A A P A A P =-=)|(21A A P ==)()(221A P A A P 753.015.0)()(21=-=A P A P9．已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A B 、的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：（1） 该产品是次品的概率；（2） 若取到的是次品，那么该产品是B 工厂的概率 。

解：设C 表示“取到的产品是次品”；A “取到的产品是A 工厂的”；B “取到的产品是B 工厂的”。

则（1） 取到的产品是次品的概率为)|()()|()()(B C P B P A C P A P C P +=5007100210040100110060=⨯+⨯= （2）若取到的是次品，那么该产品是B 工厂的概率为 )|()()|()()|()()()()|(B C P B P A C P A P B C P B P C P BC P C B P +==745007100210040=⨯= 10．有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。

由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。

解：设A 表示：“由甲袋取出的球是白球”；B 表示：“由甲袋取出的球是黑球”；C 表示：“从乙袋取出的球是白球”。

则)|()()|()()(B C P B P A C P A P C P +=21816262161264=+⨯+++⨯= 11．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。

解：设事件A 表示：“取到的产品是次品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =123，，）。

则A A A 123Y Y =Ω，且P A i ()>0，A A A 123、、两两互不相容，（1） 由全概率公式得∑=⋅=31)|()()(i i i A A P A P A P 40013100541100441100221=⨯+⨯+⨯=（2）由贝叶斯公式得P A A (|)1=∑=3111)|()()|()(j j j A A P A P A A P A P 13440013100221=⨯= 12．三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为、、和。

现从出厂的产品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率；（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。

解：设事件A 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =123，，）。

则Ω==Y 31i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得（1）∑=⋅=31)|()()(i i i A A P A P A P1000/37100210035100410025100510040=⨯+⨯+⨯= （2）由贝叶斯公式得)|(2A A P =∑=3122)|()()|()(j j j A A P A P A A P A P0.250.0410/3737/1000⨯== 13．有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。

求：( 1 ) 此人来迟的概率；( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。

解：设事件A 表示：“此人来迟了”；事件i A 分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机来”（i =123，，，4）。

则Ω==Y 41i i A ，且P A i ()>0，4321A A A A 、、、两两互不相容（1）由全概率公式得∑=⋅=41)|()()(i i i A A P A P A P518152121101315141103=⨯+⨯+⨯+⨯= （2）由贝叶斯公式得P A A (|)1=∑=4111)|()()|()(j jj A A P A P A A P A P 3131041/58⨯== 14．有两箱同类零件，第一箱50只，其中一等品10只，第二箱30只，其中一等品18只，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只（有放回），试求：（1）第一次取到的是一等品的概率；（2）两次都取到一等品的概率。

解：设i A 表示：“取到第i 箱零件”()i =12，；i B 表示：“第i 次取到的是一等品”()i =12，；则（1）)()(21111A B A B P B P Y =)()(2111A B P A B P +=52301821501021=⨯+⨯= （2）)()(22112121A B B A B B P B B P Y =)()(21121A B B P A B B P +=51)3018(21)5010(2122=⨯+⨯= 15．设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以、、的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。