此外，由于泊松分布是描述小概率事件的，因 而二项分布中当p很小n很大时，可用
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第二节 泊松分布 Possion distribution
泊松分布是用来描述和分析稀有事件即小概率事件分 布规律的函数。
一、泊松分布的意义
（一）定义
若随机变量X(X=k)只取零和正整数值，且其概率分
则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验， 简称贝努利试验。
（二）二项分布的概率
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在n重贝努利试验中，事件A发生x次的概率恰好
是（q+p）n二项展开式中的第x+1项，因此将
C Pn (k) =
k n
pkq
n－k
,
k
=称0,1作,2...二.., n项概率公式。
二、二项分布的意义及其性质
出现的怪胎（如缺皮症，全身无毛等）的头数，然
后以怪胎头数把200个奶牛场分类，统计每类中奶
牛场数目，结果如下：
10年内母牛产怪胎次数 （m）
0 1 2 3 4 总计
奶牛场数（f）
10 65 2 3 1 200
试研究10年内母牛怪胎数的9概率分布2。
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先假设母牛产怪胎数的概率分布为泊松分布。
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∑m
P(X ≤m) = Pn (k ≤m) = Cknpkqn k
k=0
∑n
P(X ≥m) = Pn (k ≥m) =
C
k n
pk
q
n
k
k=m
P(m1 ≤X ≤m2 ) = Pn (m1 ≤k ≤m2 )
∑m2
=
C
k n
pk
q
n
k (m1
≤m2 )
k=m1
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根据观察结果计算每一奶牛场10年内母牛产怪胎
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第一节 二项分布（Binomial distribution）
一、贝努利试验及其概率公式
（一）独立试验和贝努利试验 对于n次独立的试验，如果
每次试验结果出现且只出现对立事件 A与 A之一; ❖在每次试验中出现A的概率是常数p（0<p<1）,因 而出现对立事件 A的概率是1-p=q,
P6(3) = C36(0.85)3(0.15)6－3 = 20(0.85)3(0.15)3 = 0.04145344 P6(4) = C64(0.85)4(0.15)6－4 =15(0.85)4(0.15)2 = 0.17617711
P6(5) = C56(0.85)5(0.15)6－5 = 6(0.85)5(0.15)1 = 0.39933478
布为
λk P(X = k) =
e－λ
k = 0,1,;λ > 0;e = 2.7182
k!
则称X服从参数为λ的
泊松分布，记为X～P(λ)。
（二）特征 μ=σ2=λ
例
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二、泊松分布的概率计算 以样本平均数作为λ的估计值
P(X = k) = λk e－λ k!
[例]我们调查了200个奶牛场，统计各场某10年内
阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类资 料。 已知发生某一结果(如死亡) 的概率为p，其对 立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从 大量观察中获得的比较稳定的数值。观察结
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要观察到这类事件，样本含量n必须很大 。在生 物、医学研究中，服从泊松分布的随机变量是常 见的。
P6 (6) = C66 (0.85)6 (0.15)6－0 = (0.85)6 = 0.37714952
思考：求 至少孵出3只小鸡的概率是多少？ ❖ 孵出的小鸡数在2-5只之间的概率是多大？
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（一）应用条件（三个）
n个观察单位的观察结果互相独立; ❖ 各观察单位只具有互相对立的一种结果，如
n和p两个参数决定，参数n称为离散参数，只能取 正整数；p是连续参数，取值为0与1之间的任何数 值。
二项分布具有概率分布的一切性质，即：
P(X = k) = P（n (kk=) 0≥,10,2,…,n）
∑ ❖ 二项分布n 的Ckn概pk率qn－ 之k和=等(q +于p1)n，=即1 ：
k=0
二项分布的性质
四、二项分布的概率计算及其应用条件
（一）概率计算 直接利用二项概率公式
[例6] 有一批种蛋，其孵化率为0.85，今在该批 种蛋中任选6枚进行孵化，试给出孵化出小鸡的 各种可能情况的概率。
这个问题属于贝努里模型(?)，其 n = 6 中 p = 0.85,q = 1 0.，85 孵= 0化.156枚种蛋孵出的小鸡数x 服从二项分布 .其B(中6,0x.8的5)可能取值为0，1，2， 3，4，5，6。
（一）定义 设随机变量X所有可能取的值为零和正
整数：0,1,2,…,n,且有
C P（n (X其=中k)p=>Pn0(,kq)>= 0,pkn+pkqq=n－1k）,k,=则0,称1,2.随....,机n 变量X服从参
数为n和p的二项分布，记为
x ~ B(n,p)
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（二）二项分布的性质 二项分布是一种离散型随机变量的概率分布，由
其中：
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P6 (0) = C06 (0.85)0 (0.15)6 = (0.15)6 = 0.00001139
P6(1) = C16(0.85)1(0.15)6－1 = 6(0.85)1(0.15)5 = 0.00038728
P6(2) = C62(0.85)2(0.15)6－2 =15(0.85)2(0.15)4 = 0.00548648
第三章 常见概率分布
内容提要 第一节 二项分布 第二节 泊松分布 第三节 正态分布
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教学重点：
1. 正态分布、二项分布、泊松分布的概率 计算方法及应用；
2. 正态分布标准化的方法 3. 正态分布表、t值表的用法
教学要求：
掌握正态分布、二项分布、泊松分布的概 率计算方法及应用
三、二项分布的平均数与标准差
统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量之 平均数μ、标准差σ与参数n、p有如下关系：
当试验结果以事件A发生次数k表示时
μ = np
σ = npq
❖当试验结果以事件A发生的频率k／n表示时，
μp = p
σp = (pq) /n
σp 也称率的标准误。
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