直线、平面平行与垂直的判定及其性质7. 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若平面PAB平面PCD l=，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由.【解析】（1）因为∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,所以AD⊥平面PAB, 所以AD⊥PA.同理可得AB⊥PA.由于AB、AD⊂平面ABCD，且AB AD=A,所以PA⊥平面ABCD.（2）（方法一）不平行.证明：假定直线l∥平面ABCD,由于l⊂平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD, 所以l∥CD.同理可得l∥AB, 所以AB∥CD.这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰不平行相矛盾,故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行.（方法二）因为梯形ABCD中AD∥BC,所以直线AB与直线CD相交，设AB CD=T.由T∈CD，CD⊂平面PCD得T∈平面PCD.同理T∈平面PAB.即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.所以直线l与平面ABCD不平行.DCPAB（第16题）8. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11,,AB BC BC BC AB BC ⊥⊥=，,,E F G 分别为线段1111,,AC AC BB 的中点，求证：（1）平面ABC ⊥平面1ABC ; （2）//EF 面11BCC B ；（3）GF ⊥平面11AB C 【解析】(1)BC AB ⊥11BC BC ABBC B⊥=BC ∴⊥平面1ABC BC ⊂平面ABC∴平面ABC ⊥平面1ABC(2)111,AE EC A F FC ==,1//EF AA ∴11//BB AA 1//EF BB ∴11EF BCC B ⊄面∴//EF 面11BCC B ；(3)连接EB ，则四边形EFGB 为平行四边形11111111111111BE FG A C EB AC FG AC BC ABC B C ABC B C B C B C C ⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥=面面,GF ∴⊥平面11AB C 。
AB CA 1B 1C 1E FGAB CA 1B 1C 1EFG9. 在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，OA ⊥平面ABCD ，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，求证：（1）平面BDO ⊥平面ACO ； （2）EF//平面OCD.【解析】证明：⑴∵OA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OA BD ⊥， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又OA AC A =，∴BD ⊥平面OAC ，又∵BD ⊂平面OBD ，∴平面BDO ⊥平面ACO ． ⑵取OD 中点M ，连接EM,CM ,则1,2ME AD ME AD =‖， ∵四边形ABCD 是菱形，∴//,AD BC AD BC =， ∵F 为BC 的中点，∴1,2CF AD CF AD =‖， ∴,ME CF ME CF =‖．∴四边形EFCM 是平行四边形，∴//EF CM ， 又∵EF ⊄平面OCD ，CM ⊂平面OCD ． ∴EF ‖平面OCD ．DABCFE OM10. 如图l ，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，∠ABC=600，E 是BC 的中点．如图2，将△ABE 沿AE 折起，使二面角B —AE —C 成直二面角，连结BC ，BD ，F 是CD 的中点，P 是棱BC 的中点． (1)求证：AE ⊥BD ； ’(2)求证：平面PEF ⊥平面AECD ； (3)判断DE 能否垂直于平面ABC?并说明理由．【解析】（1）连接BE ，取AE 中点M ，连接,BM DM ．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD ，60ABC ︒∠=，E 是BC 的中点ABE ∴∆与ADE ∆都是等边三角形 ,BM AE DM AE ∴⊥⊥,,BMDM M BM DM =⊂平面BDM AE ∴⊥平面BDMBD ⊂平面BDM AE BD ∴⊥．（2）连接CM 交EF 于点N ，连接PNME ∥FC ，且ME ＝FC ∴四边形MECF 是平行四边形 N ∴是线段CM 的中点 P 是线段BC 的中点 PN ∴∥BMABDE图1ABD FP图2BDACPQNMOACDBPMQ BM ⊥平面AECD PN ∴⊥平面AECD ．PN ⊂平面PEF PEF AECD ∴⊥平面平面（3）DE 与平面ABC 不垂直．证明：假设DE ⊥平面ABC ， 则DE AB ⊥BM ⊥平面AECD BM DE ∴⊥ABBM B =，,AB BM ⊂平面ABE DE ∴⊥平面ABEDE AE ∴⊥，这与60AED ∠=矛盾 DE ∴与平面ABC 不垂直．11. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 中为菱形，60=∠BAD ，Q 为AD 的中点。
（1） 若PD PA =，求证：平面⊥PQB 平面PAD ；（2） 点M 在线段PC 上，tPC PM =，试确定实数t 的值，使得PA ‖平面MQB 。
【解析】（1）连BD ，四边形ABCD 菱形 AD AB ∴=，60=∠BAD∴为正三角形ABD ∆中点为AD QBQ AD ⊥∴PD PA = Q 为AD 的中点，∴ PQ AD ⊥又BQPQ Q =PQB AD 平面⊥∴，PAD AD 平面⊂PAD PQB 平面平面⊥∴（2）当31=t 时，使得PA ‖MQB 平面，连接AC 交BQ 于N ，交BD 于O ，则O 为BD 的中点，又 BQ 为ABD ∆边AD 上中线，∴N 为正三角形ABD 的中心，令菱形ABCD 的边长为a ，则a AN 33=，a AC 3=。
PA ‖MQB 平面 PAC PA 平面⊂ MN MQB PAC =平面平面PA ∴‖MN31333===a aAC AN PC PM 即：PC PM 31= 31=t 。
12. 如图，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，M 为PA 的中点. （Ⅰ）求证：PC ∥平面BDM ；（Ⅱ）若PA ＝AC ＝2，BD ＝32，求直线BM 与平面PAC 所成的角.【解析】（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为O ，连结OM. 因为四边形ABCD 是菱形，则O 为AC 中点.又M 为PA 的中点，所以OM ∥PC. 因为OM 在平面BDM 内，所以PC ∥平面BDM. （Ⅱ）因为四边形ABCD 是菱形，则BD ⊥AC. 又PA ⊥平面ABCD ，则PA ⊥BD. 所以BD ⊥平面PAC.所以∠BMO 是直线BM 与平面PAC 所成的角. 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AC. 在Rt △PAC 中，因为PA ＝AC ＝2，则PC ＝2.又点M 与点O 分别是PA 与AC 的中点，则MO ＝21PC ＝1.又BO ＝21BD ＝3，在Rt △BOM 中，tan ∠BMO＝BO MO =∠BMO ＝60°.故直线BM 与平面PAC 所成的角是60°.13. 一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为a 的正方形，左视图是直角边长为a 的等腰三角形）如图所示，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一动点.（Ⅰ）求证：;AC GN ⊥（Ⅱ）求三棱锥F MCE -的体积； （Ⅲ）当FG GD =时，证明//AG 平面FMC .主视图侧视图俯视图aaaM A NBCDEF G【解析】（Ⅰ）由三视图可知，多面体是直三棱柱，两底面是直角边长为a 的等腰直角三角形，侧面ABCD ,CDFE 是边长为a 的正方形.连结DN , 因为,FD CD FD AD ⊥⊥, 所以，FD ⊥面ABCD FD ⊥AC 又AC DN ⊥, 所以，AC ⊥面GND , GN ⊂面GND 所以GN AC ⊥ （Ⅱ）E FMC ADF BCE F AMCD E MBCV V V V ----=--=1133BCE AMCD MBCS CD FD S EC S ∆∆⋅-⋅-⋅11111()2322322a a a a a a a a a a =⋅⋅-⋅+⋅⋅-⋅⋅⋅⋅＝316a .另解：311113326E FMC M CEF CEF V V AD S a a a a --∆==⋅=⋅⋅⋅=（Ⅲ）连结DE 交FC 于Q ,连结QG因为,,G Q M 分别是,,FD FC AB 的中点，所以GQ //12CD， AM //12CD,所以，AM //GQ ,AMGQ 是平行四边形AG ∥QM ,AG ⊄面FMC ,MQ ⊂面FMC 所以，AG //平面FMC .14. 如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P 为侧棱SD 上的点。
（1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，在SC 上取一点E ，使，连接BE ，求证：BE ∥平面PAC.M A NBCDEF GQ【解析】（1）连BD，设AC交BD于O ，由题意。
在正方形ABCD 中，，所以,得.（2）由,知,在等腰三角形SCD中，可解得.在上取一点,使,所以，连BN ，在中知，O 又由于,故平面，得.。