(
(E E) E E)
dl
§3.1.4 焦耳定律(不适用于运流电流)
焦耳定律：电流产生的热量跟电流、电阻和通电时间的
关系。即电流通过导体的热量跟电流的平方成正比，跟
导体的电阻成正比，跟通过时间成正比。
Q I 2 Rt 单位(J , A, , S)
焦耳定律的微分形式： p J E E 2
电容值得到对应的漏电导值。 • 从定义出发，设两导体之间的漏电流I，求U值，得G
J In S
E J
U l E dl
G I U
假定I
J
E
U
G
例3-1 设同轴线的内导体半径为a 、外导体内半径b，其 间媒质的电导率为σ，求同轴线单位长度的漏电电导。
解：漏电电流的方向是沿半径方向从内导体到外导体， 如令沿轴线方向单位长度从内导体流向外导体电流为I， 则媒质内任一点的电流密度和电场为
d dt
V
dV
电荷守恒的数学表达式（电流连续性方程的积分形式）
SJ dS V t dV
电流连续性方程的微分形式
J
0
恒定电流场的基本方程之一：
t
积分形式： SJ dS 0
微分形式：
J
0
表明：无散，即电流密度矢量线是无起点无终点闭合曲线
§3.1.3 欧姆定律的微分形式
电流分类：
• 传导电流：指导体中的自由电子或半导体中的自由电 荷在电场作用下作定向运动所形成的电流。如金属中、 电解液中的电流。
S
J
dS
0
SJ dS 上J dS 下J dS 侧J dS
由于h0
S J dS 上 J dS 下 J dS
又⊿S很小，所以⊿S上电流密度可看成常数
S J dS J2 nS J1 nS 0
n (J2 J1) 0
或 J1n J 2n
或 1
1
n
2
2
n
主要内容
• 恒定电流的电场的基本特性（第一部分）
• 磁感应强度与磁场强度
• 恒定磁场的基本方程
• 磁介质中的场方程
（第二部分）
• 恒定磁场的边界条件
• 自感与互感的计算
• 磁场能量与能量密度
第一部分 §3.1 恒定电流的电场
基本概念：
• 电流：电荷在电场作用下定向运动形成电流，习惯 上规定正电荷运动的方向为电流的方向。
常温下（20℃）常用材料的电导率
材料
电导率σ（S/m）
铁（99.98%）
107
黄铜
1.46 ×107
铝
3.54 ×107
金
3.10 ×107
铅
4.55×107
铜
5.80×107
银
6.20×107
硅
1.56×10-3
电动势
• 电源：一种将其他形式的能量（机械的，化学的，热 的等）转化为电能的装置
• 非静电力：非静止电荷产生的力，如电池内，非静电 力指由化学反应产生的使正、负电荷分离的化学力。
• 运流电流：指带电粒子在真空中或气体中运动时形成 的电流。如真空管中的电流。
欧姆定律微分形式：
J E 其中σ为电导率，单位：西门子/米（S/m）
恒定电场中，仅理想导体（σ→∞ ）内才有： E 0
静电场中，导体内有： E 0 注意：只适用于传导电流， 电源外部；不适用于运流
欧姆定律积分形式：U RI 电流、电源
如图，设通过 △S的电流为
△I，该点处的电流密度为
I dI
J lim n n
S0 S
dS
1、体电流密度
J
lim
I
n
dI
n
S0 S
dS
》与I的关系
I SJ dS
》与ρ的关 系 J v
2、面电流密度 若电流仅分布在导体表面的一薄层内，引入面电流密度
I dI
JS
lim
l 0
l
n
• 静电比拟法：当某一特定的静电场问题的解已知时， 与其相应的恒定电场的解可以通过对偶量的代换直 接得出。 恒定电场：E, , J , I , ,G 静电场：E, , D, q, ,C
漏电电导定义：两个导体之间的漏电流I与它们之间 的电压U的比值为该导体系统的漏电导，用G表示。而 导体与大地之间的漏电阻一般称为接地电阻。
ln ba
其中L ：长度，a，b：内外导体内外半径
•
平行双导线：C
L
ln 2D
d
其中L：长度，D：导线间距，d：导线直径。
• 同心球：C 4ab 其中a，b：内外球半径。
ba
• 孤立导体：C 4a 其中a：球半径。
由静电比拟法可行常见导体系统的漏电导
• 平行板：G S 其中S：面积，d：距离。
d
•
同轴线：G
2 L
ln b a
其中L ：长度，a，b：内外导体内外半径
•
平行双导线：G
L
ln 2D
d
其中L：长度，D：导线间距，d：导线直径。
• 同心球：G 4 ab 其中a，b：内外球半径。
ba
• 孤立导体：G 4 a 其中a：球半径。
漏电导的计算方法
• 从比拟法出发，利用C-G和的σ-ε比拟关系，直接由
§3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟
恒定电场（电源外）
E 0 J 0
J E E 2 0
J1n J2n E1t E2t
U E dl
I S J dS
静电场（ρ=0的区域）
E 0 D 0
DE E 2 0
D1n D2n E1t E2t
U E dl
q S D dS
解：接地电极的接地电阻为
R 1
1
159
2 a 2 0.01 0.1
已知流入地中电流为I，则在距求心r处的电场强度为
E
I
2
r2
跨步电压 U AB
OB
Edr 159.2V
OA
损耗功率 P I 2R 1.59106W
§3.1.5 恒定电流场的基本方程
（适应于电源外部）
散度方程
微分形式：
J
I
I
J 2 rL er L1 2 r er
I
E 2 r er
两导体间的电位差为：
b
Ib
U a Edr 2 ln a
漏电电导为：
I 2
G0 U ln b
a
a r
b
例3-2 一个同心球电容器的内、外半径为a、b，其间媒 质的电导率为σ，求该电容器的漏电电导。
所以电极在大地中的电压为：U
a E dr
I
2a
故得接地电阻为：R
U
I
1
2
a
同理，全球接地电阻 R 1 接地电导 G 4a
4 a
结论：当流入地面电流一定，电阻越小，电压越小，因 此为了使人接近接地电极时更安全，应该减小接地电阻。 电阻越小，接地仪器设备的外壳越接近大地的电位
R 1
减小接地电阻方法：
2、切线方向上： E1t E2t
E1 sin1 E2 sin 2 说明：电场强度和电流密度矢量方
tan1 1
tan
特殊情况：
2
2
向在经过分界面两边时方向将发 生改变，改变量与媒质性质有关
》垂直分界面入射时：方向不发生改变，类似光折射
》当σ1> >σ2 ：即第一种媒质为良导体，第二种媒质为不 良导体时，只要θ1≠π/2，得θ2≈0，即在不良导体中，电力 线近似垂直于界面，可以将良导体的表面看作等位面
4 a
• 增大半径a
》 采用大块接地导体
》采用若干个具有一定粗细，一定长度的导体柱组成的 接地系统
》采用多根细长导体辐射状散开平铺于地下。
• 增大电导率σ
》在接地电极附近的地质中灌入盐液或其他导电液体。
例：如图一半径为10cm的半球形接地导体电极，电极平 面与地面重合，已知土壤的导电率为σ=10-2S/m。求： 1）接地电阻； 2）若有短路电流100A流入地中，某人正以0.5m的步距向 接地点前进，前脚距半球中心点的距离为2m，求此人的 跨步电压及土壤的损耗功率
• 恒定电流：电流不随时间变化而变化
• 恒定电流场：恒定电流的空间存在的电场
§3.1.1 电流密度
一、电流强度（标量）（A） 单位时间通过某导线截面的电荷量 i lim q dq
t0 t dt
i为时间的函数，若电荷流动的速度不变，称恒定电流 即直流电流 i dq I
dt
二、电流密度（矢量）（A/m2）——体电流密度 大小：与正电荷运动方向垂直的单位面积上的电 流强度。方向：正电荷运动的方向。
V 0 V
补充：接地电阻(无线电仪器或电气装置中常需接地)
• 接地：将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的 部分与该导体连接。
• 接地体或接地电极：埋在地内的导体或导体系统。
• 接地电阻：电流由电极流向大地时所遇到的电阻。当 远离电极时，电流流过的面积很大，而在接地电极附 近，电流流过的面积很小，或者说电极附近的电流密 度最大，则电极处电场强度最大，从而电压差主要产 生在电极处，因此，接地电阻主要集中在电极附近。
• 跨步电压：人跨一步（约0.8m）的两脚间的电压。如 果短路，大的电流流入大地时，接地电极附近地面两 点间电压可能达到相当大的数值。
例：求半球形电极的接地电阻
设经引线由O点流入半球形电极的电流为I，则距球心为
r处的地中任一点的电流密度为：
J
I
2r 2
er
则电场强度为：
E
I
2r 2
er
由于电流沿径向一直流出去，直至无穷远处
第三章 恒定电流的电场和磁场