2018高考数学模拟试题（2）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝334R π，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合},02/{2R x x x x M ∈=+=，},02/{2R x x x x N ∈≤-=， 则=N M I ▲ ．2．已知复数z 满足z3＋2i＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为 ▲ ．3．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．成绩分组为[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为 ▲ ．4．在标号为0，1，2，4的四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为 奇数的概率是 ▲ ．0.030 0.025 0.015频率组距 05060 70 80 90 100成绩(第3题)5．运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是 ▲ ．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 10的值为▲________． 7．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的 解集为 ▲ ． 8．在直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 23＝1的左准线为l ，则以l 为准线的抛物线的标准方程是 ▲ ．9．四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且1cm AB BC CD ===，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 ▲ 2cm .10. 已知0πy x <<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -= ▲ .11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切， 且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为 ▲ ．12．正五边形ABCDE的边长为AE AC ⋅的值为 ▲ ．13．设0a ≠，e 是自然对数的底数，函数2,0,(),0x ae x x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有零点，且所有零点的和不大于6，则a 的取值范围为 ▲ ．14．若对任意实数x 和任意θ∈[0，π2]，恒有(x +2sin θcos θ)2+(x +a sin θ+a cos θ)2≥18， 则实数a 的取值范围是 ▲ ．（第5题）二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈. 将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). （1）若113x =，求2x ； （2）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ， 记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，若122S S =， 求角α的值. .16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，BC =BB 1，D 为AB 的中点. （1）求证：BC 1∥平面A 1CD ； （2）求证：BC 1⊥平面AB 1C .17．(本小题满分14分)某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为nE cv T=，其中v为探测器在静水中行进时的速度，T为行进时的时间（单位：小时），c为常数，n为能量次级数．如果水的速度为4 km/h，该生物探测器在水中逆流行进200 km．（1）求T关于v的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少．18．(本小题满分16分)如图，椭圆22:143x yC+=的右焦点为F，右准线为l，过点F且与x轴不重合的直线交椭圆于A，B两点，P是AB的中点，过点B作BM⊥l于M，连AM交x轴于点N，连PN.（1）若165AB=，求直线AB的倾斜角；（2）当直线AB变化时，求PN长的最小值.19．(本小题满分16分)设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2． （1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）； （3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABCt =， 求(1)(1)a t --的值．20．(本小题满分16分)已知数列{n a }满足*111,||,.nn n a a a p n N +=-=∈（1）若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； （2）若12p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题．．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，求线段AE 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及对应的一个特征向量．A(第21题A)C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知点P 是曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （θ为参数，πθπ2≤≤）上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为3π，求点P 的直角坐标．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求22232z y x ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3， 4，现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ，求事件A 的发生的概率； （2）设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在集合{A =1，2，3，4，…，2n }中，任取m （m n ≤，m ，n ∈N *）元素构成集合m A ．若m A 的所有元素之和为偶数，则称m A 为A 的偶子集，其个数记为()f m ；若m A 的所有元素之和为奇数，则称m A 为A 的奇子集，其个数记为()g m ．令()()()F m f m g m =-． （1）当2n =时，求(1)F ，(2)F ，的值； （2）求()F m ．2018高考数学模拟试题（2）数学I 答案一、填空题答案1. {0}2. 33. 1204.21 5. 216. －57. （0，1）8. y 2＝2x9. 3π 10.3π 11. 258解：因为直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切，=又因为圆心C 在直线l 的上方，所以20a b +>， 所以25a b +=，52a b =+≥ 所以ab 的最大值为258．12. 6解：利用在上的投影得，221=⋅=6． 13． ()[]6,40,Y ∞- 解：①0<a0≤x 时，01e )(<-=x a x 'f ，所以)(x f 在)0(,-∞单调递减，且0)0(<=a f ，所以)(x f 在)0(,-∞有一个小于0的零点．0>x 时，)(x f 在)0(+∞,单调递增，因为1)1(=f ，所以)(x f 在)0(+∞,有一个小于1的零点． 因此满足条件． ②0>a（1）1≤0a <时，)(x f 在)0(,-∞单调递减，0)0(>=a f ，所以)(x f 在(]0,∞-上没有零点．又因为042<-=∆a a ，故)(x f 在)0(+∞,上也没有零点.因此不满足题意．（2）41<<a 时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-a 1ln ,上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛01ln ,a 上单调递增，0ln 11ln >+=⎪⎭⎫⎝⎛a a f ，所以)(x f 在(]0,∞-上没有零点．又因为042<-=∆a a ，故)(x f 在)0(+∞,上也没有零点.因此不满足题意．（3）4=a 时，⎩⎨⎧>+--=04404)(2x x x x x e x f x ,≤ ,，)(x f 在(]0,∞-上没有零点，零点只有2，满足条件．（4）4>a 时，)(x f 在(]0,∞-上没有零点，在)0(+∞,上有两个不相等的零点，且和为a ，故满足题意的范围是64≤a <．综上所述，a 的取值范围为()[]6,40,Y ∞-．14. a ≤6或a ≥72解：因为222()2a b a b -+≥对任意a 、b 都成立，所以，(x +2sin θcos θ)2+(x +a sin θ+a cos θ)2≥12 (2sin θcos θ-a sin θ-a cos θ)2，(2sin θcos θ-a sin θ-a cos θ)2≥14，即对任意θ∈[0，π2]，都有132sin cos 2sin cos a θθθθ++≥+或132sin cos 2sin cos a θθθθ+-≤+，因为132sin cos 512sin cos sin cos 2sin cos θθθθθθθθ++=++⋅++,当θ∈[0，π2]时，1sin cos θθ≤+所以72a ≥，同理a ≤6. 因此，实数a 的取值范围是a ≤6或a ≥72．二、解答题答案15.解：（1）由三角函数定义，1cos x α=，2cos()3x πα=+，因为(,)62ππα∈，1cos 3α=，所以222sin 1cos αα=-=. 213126cos()cos sin 3226x πααα-=+=-=.（2）依题意，1sin y α=，2sin()3y πα=+，所以111111cos sin sin 2224S x y ααα==⋅=，)322sin(41-)3sin()3cos(2121222παπαπα+=++-==y x S ,依题意，2sin 22sin(2)3παα=-+，化简得cos20α=， 因为62ππα<<，则23παπ<<，所以22πα=，即4πα=.16.证明：（1）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，四边形ACC 1A 1为矩形，设AC 1∩A 1C =G ，则G 为AC 1中点，D 为AB 中点，连DG ，则DG ∥BC 1. 因为DG ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD.（2）由（1）四边形BCC 1B 1为矩形，又BC =BB 1，则四边形BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C ， 由（1）CC 1⊥平面ABC ，所以CC 1⊥AC ， 又AC ⊥BC ，则AC ⊥平面BCC 1B 1，AC ⊥BC 1， 因此，BC 1⊥平面AB 1C .17.解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h ，即4v -， 所以200T=4v -，即2004T v =-，4v >；（2）(ⅰ) 当能量次级数为2时，由（1）知22004v E c v =⋅-，4v >，[]2(4)42004v c v -+=⋅-16200(4)84c v v ⎡⎤=⋅-++⎢⎥-⎣⎦2008c ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦≥3200c =（当且仅当1644v v -=-即8v =km/h 时，取等号）（9分）(ⅱ) 当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，4v >， 所以222(6)2000(4)v v E c v -'=⋅=-得6v =，当6v <时，0E '<；当6v >时，0E '>， 所以当6v =时，min E 21600c =．答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为3200c ； (ⅱ) 6v =km/h 时，该探测器消耗的能量最少．18. 解（1）显然)0,1(,21,3,2F e b a ===，当AB ⊥x 轴时，易得221635b AB a ==≠，不合题意.所以可设AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，与椭圆方程联立得2222(43)84120k x k x k +-+-=，设A （x 1，y 1）, B （x 2，y 2）, 则212221228,4341243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因此2212(1)16435k k +=+，解得k =AB 的倾斜角等于60o 或120o .（2）因为椭圆的右准线的方程为4x =，由（1），当AB 不垂直于x 轴时，点211(4,(1)),(,(1))M k x A x k x --，所以直线AM 的方程为12111()(1)()4k x x y k x x x x ---=--，令y =0，得1121254N x x x x x x --=-2211221212412205454343k k x x k k x x x x ----++==--=1121255()522x x x x x -+=-. 当AB ⊥x 轴时，易得52N x =，所以无论AB 如何变化，点N 的坐标均为5(,0)2.因此，当AB ⊥x 轴时，PN 取最小值，PN min =53122-=. 19.解（1）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾． 所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =． 当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数； 当ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数.于是当ln x a =时，()f x 取得极小值．因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)， 所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．. 此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围.（2）因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，两式相减得2121e e x x a x x -=-．记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s s x x f s x x s++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-， 设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s s g s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数， 则有()(0)0g s g <=，而122e02x x s+>，所以()1202x x f +'<． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且122x x +>所以0f '<．（3）依题意有e 0i x i ax a -+=，则(1)e 0i x i a x -=>⇒112i x i >=（，）．于是122ex x +=，在等腰三角形ABC 中，显然C = 90°，所以12012()2x x x x x +=∈，，即00()0y f x =<， 由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-， 所以21002x x y -+=，即1221212e ()022x x x xa x x a +--+++=，所以2112()022x x a x x a -+++=，即2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=．因为110x -≠，则()2211111110212x x x a x ----++=-，t =，所以221(1)(1)022a at t t -++-=， 即211a t =+-，所以(1)(1) 2.a t --=20. 解：（1）因为{n a }是递增数列，所以nn n p a a =-+1， 又11=a ，1,1232++=+=p p a p a ，因为12,3,23a a a 成等差数列，所以p p p p p a a a =+++=++=223123,333144,34，解得0,31==p p ，当0=p ，01=-+n n a a ，与{n a }是递增数列矛盾，所以31=p . （2）因为{21n a -}是递增数列，所以01212>--+n n a a ， 于是()+-+n n a a 212()0122>--n n a a①由于1222121-<n n ，所以122212-+-<-n n n n a a a a ② 由①②得()0122>--n n a a ，所以()122121222121----=⎪⎭⎫⎝⎛=-n n n n n a a③ 因为{2n a }是递减数列，所以同理可得0212<-+n n a a ，()nn nnn a a 21222122121++-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-.④ 由③④得()nn nn a a 2111++-=-，所以()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a Λ()()()123122121211--++-+-+=n nΛ()11213134211211211---+=+⎪⎭⎫⎝⎛--⋅+=n nn ， 所以数列{n a }的通项公式为()1213134--+=n nn a ．数学Ⅱ答案21．【选做题】答案A ．选修4—1：几何证明选讲解：连结OC ，BE ．因为AB 是圆O 的直径，所以BE ⊥AE ．因为AB ＝8，BC ＝4，所以OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形． 所以∠BOC ＝60︒．又直线l 切⊙O 与于点C ，所以OC ⊥l ． 因为AD ⊥l ，所以AD ∥l ． 所以∠BAD ＝∠BOC ＝60︒．在Rt △BAE 中，因为∠EBA ＝90︒－∠BAD ＝30°， 所以AE ＝12AB ＝4．B ．选修4—2：矩阵与变换 解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4．因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x )－4＝0，解得x ＝1． 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1．设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则⎩⎨⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，从而y ＝－x ． 取x ＝1，得y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1．C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由题意得,曲线C 的普通方程为22143x y +=(1) 00sin 2≤⇒≤⇒≤≤y θπθπΘ 直线OP的方程为y = (2)A (第21题A)联立(1)(2)得55xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）或55xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以点P的坐标为(D．选修4—5：不等式选讲解：由柯西不等式可知22222221)1](23)z x y z+⋅≤++++,所以2222()24231111123x y zx y z++++≥=++,当且仅当1112,114,116===zyx时取等号.【必做题】答案22.解：（1）由已知有P(A)=C31C41+C32C102=13,所以事件A发生的概率为13.（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2P(X=0)=C32+C32+C42C102=415；P(X=1)=C31C31+C31C41C102=715；P(X=2)=C31C41C102=415.所以随机变量X的分布列为1.152151150E(X)=⨯+⨯+⨯=23.解：（1）当2n =时，集合为{1,2,3,4}．当1m =时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，(1)2f =，(1)2g =，(1)0F =； 当2m =时，偶子集有{2,4}，{1,3}，奇子集有{1,2}，{1,4}，{2,3}，{3,4}，(2)2f =，(2)4g =，(2)2F =-；（2）当m 为奇数时，偶子集的个数0224411()C C C C C C C C m m m m n n n n n n n n f m ---=++++L ，奇子集的个数11330()C C C C C C m m m n nn nn n g m --=+++L ， 所以()()f m g m =，()()()0F m f m g m =-=．当m 为偶数时，偶子集的个数022440()C C C C C C C C m m m m n n n n n n n n f m --=++++L ，奇子集的个数113311()C C C C C C m m m n nn nn n g m ---=+++L ， 所以()()()F m f m g m =-0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n ----=-+-+-+L ． 一方面，01220122(1)(1)(C C C C )[C C C (1)C ]n n n n n n nn n n n n n n n x x x x x x x x +-=++++-+-+-L L ，所以(1)(1)n nx x +-中m x 的系数为0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n -----+-+-+L ； 另一方面，2(1)(1)(1)n n n x x x +-=-，2(1)nx -中mx 的系数为22(1)C mm n-，故()F m =22(1)C m m n-．综上，22(1)C , ()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．。