后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A．乙、丁可以知道自己的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩
B．乙可以知道四人的成绩 D．丁可以知道四人的成绩
7． sin 47 sin17 cos30
cos17
A． 3 2
B． 1 2
C． 1 2
D． 3 2
8．当 a 1时， 在同一坐标系中，函数 y ax 与 y loga x 的图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设 a,b R ，“ a 0 ”是“复数 a bi 是纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
10．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x （吨）与相应 的生产能耗 y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方
a= ．
14．设 Sn 是等差数列an(n N*) 的前 n 项和，且 a1 1, a4 7 ，则 S5 ______
15．若不等式| 3x b | 4 的解集中的整数有且仅有 1，2，3，则 b 的取值范围是
16．函数 f (x) log2 x 1的定义域为________． 17． (x3 1 )7 的展开式中 x 5 的系数是 .（用数字填写答案）
x 3 2t
（2）若 Q
为
C
上的动点，求
PQ
中点
M
到直线 l
:
y
2
t
（t
为参数）距离的最小值.
22．设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C: x2 y2 1上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N， 2
点 P 满足 NP 2 NM .
（1）求点 P 的轨迹方程；
（2）设点 Q 在直线 x 3 上，且 OP PQ 1 .证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的
左焦点 F.
23．已知 2x
256 且 log2
x
1 ，求函数 2
f (x) log2
x log 2
2
x 的最大值和最小值． 2
24．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 (单位：千克)与销售价格 (单
位：元/千克)满足关系式
，其中
， 为常数，已知销售价
格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克．
x 18．等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ，二面角 C AB D 的余弦值为
3 ， M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM，AN 所成角的余弦值等于 ． 3
19．幂函数 y=xα,当 α 取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设 点 A(1,0),B(0,1),连接 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα,y=xβ 的图像三等分,即有 BM=MN=NA,那么,αβ 等于_____.
四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在
老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
6．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两
位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看
cos17
2
【点睛】
三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公
式；
（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】 根据指数型函数和对数型函数单调性，判断出正确选项. 【详解】
20．如图，圆 C（圆心为 C）的一条弦 AB 的长为 2，则 AB AC =______．
三、解答题
21．已知平面直角坐标系 xoy .以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， P 点的
极坐标为
2
3,
6
，曲线
C
的极坐标方程为
2
2
3 sin 1
（1）写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程；
由于 a
1，所以
y
ax
1 a
x
为
R
上的递减函数，且过 0,1
；
y
loga
x 为0,
上的单调递减函数，且过 1,0 ，故只有 D 选项符合.
故选：D. 【点睛】 本小题主要考查指数型函数、对数型函数单调性的判断，考查函数图像的识别，属于基础 题.
9．B
解析：B 【解析】
【分析】 【详解】
由已知新运算 a b 的意义就是取得 a, b 中的最小值，
因此函数
f
x
1 2x
1, x 0 2x , x 0 ，
只有选项 A 中的图象符合要求，故选 A.
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
设 AB 3, BF1 4, AF1 5, AF2 x ，利用双曲线的定义求出 x 3 和 a 的值，再利用勾股 定理求 c ，由 y b x 得到双曲线的渐近线方程.
2019 年数学高考一模试卷(附答案)
一、选择题
1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．定义运算
a
b
a(a b(a
b) b)
，则函数
f
(x)
1
2x
的图象是（
）．
A．
B．
C．
D．
3．如图，
F1 ,
F2
是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的左、右焦点，过
F2
的直线与双曲线
5
44
4
A． 13 18
B． 3 22
C． 13 22
D． 3 18
12．已知锐角三角形的边长分别为 2，3， x ，则 x 的取值范围是（ ）
A． 5 x 13
B． 13 x 5
C． 2 x 5 二、填空题
D． 5 x 5
13．已知曲线 y x ln x 在点 1,1 处的切线与曲线 y ax2 a 2 x 1相切,则
4x
，根据余弦定理得 cos 22 32 x2 0 ，解得 0 x 13 ，所以实数 x 的取值范 12
围是 5 x 13 ，故选 A.
考点：余弦定理.
二、填空题
13．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的
(1) 求 的值； (2) 若商品的成品为 3 元/千克, 试确定销售价格 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润 最大
25．在直角坐标平面内，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点
A ， B 的极坐标分别为
4
，π 2
，
2
2
，5π 4
，曲线
C
的方程为
r
（
r
0
）．
（1）求直线 AB 的直角坐标方程； （2）若直线 AB 和曲线 C 有且只有一个公共点，求 r 的值．
程为 y 0.7x 0.35，则下列结论错误的是（ ）
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
A．产品的生产能耗与产量呈正相关
B．回归直线一定过（4.5, 3.5）
C． A 产品每多生产 1 吨，则相应的生产能耗约增加 0.7 吨 D． t 的值是 3.15
11．已知 tan( ) 2 ， tan( ) 1 ，则 tan( ) 的值等于（ ）
10．D
解析：D 【解析】
由题意， x = 3 4 5 6 =4.5， 4
∵ yˆ =0.7x+0.35， ∴ y =0.7×4.5+0.35=3.5，
∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3， 故选 D．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题可分析得到
tan
+
4
tan
4
,由差角公式,将值代入求解即可
C 交于 A, B 两点．若 AB : BF1 : AF1 3: 4 : 5 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． y 2 3x
B． y 2 2x
C． y 3x
D． y 2x
4．已知
F1，F1
(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆 C 上存在点 P，
使得线段 PF1 的中垂线恰好经过焦点 F2，则椭圆 C 离心率的取值范围是( )
A．
2 3
,1
B．
1 3
,
2
2
C．
1 3
,1
D．
0,
1 3
5．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个 4 100 米接力队，老师要安排他们四人的出场顺
序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；
丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
由 sin 47 sin 30 17 ，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可.
【详解】
sin 470
sin170 cos 300 cos170
sin(17
30) sin17 cos17
cos 30
sin17cos30 cos17sin 30 sin17cos30 sin30 1 ．故选 C．