初中几何中线段和（差)的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析:一)、已知两个定点：１、在一条直线m 上,求一点Ｐ，使P Ａ+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：(２）点A 、B 在直线同侧:2、在直线m 、n 上分别找两点Ｐ、Ｑ，使ＰＡ+P Ｑ+QB 最小。
（１）两个点都在直线外侧：(2）一个点在内侧,一个点在外侧:(３)两个点都在内侧：m mB mABmn mnn mnnn m(４)、台球两次碰壁模型变式一:已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.变式二:已知点A 位于直线m,n 的内侧， 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA ＋PQ+Q Ａ周长最短．二)、一个动点,一个定点: （一）动点在直线上运动:点Ｂ在直线ｎ上运动,在直线m 上找一点Ｐ，使PA ＋PB 最小(在图中画出点Ｐ和点B ） 1、两点在直线两侧:2、两点在直线同侧：(二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点Ｐ，使PA+P Ｂ最小(在图中画出点P 和点B ） １、点与圆在直线两侧:m nmnm nmm2、点与圆在直线同侧:三)、已知A 、B 是两个定点,P 、Q 是直线ｍ上的两个动点,P 在Q 的左侧，且ＰＱ间长度恒定，在直线ｍ上要求P 、Q 两点，使得PA+P Ｑ+QB 的值最小。
（原理用平移知识解） （1）点A 、B 在直线ｍ两侧：作法：过A 点作AC ∥ｍ，且ＡＣ长等于ＰＱ长,连接ＢC ，交直线m 于Ｑ,Q 向左平移PQ 长,即为Ｐ点，此时P 、Q 即为所求的点。
(2)点A 、B 在直线ｍ同侧：基础题1.如图1,∠ＡO Ｂ=４5°，P 是∠AO Ｂ内一点，PO ＝１0，Ｑ、R 分别是ＯA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 .2、如图２,在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=４５°，∠B ＡＣ的平分线交B Ｃ于点D,Ｍ,Ｎ分别是AD 和ＡＢ上的动点，则BM+ＭＮ的最小值为 .m O A P m OA B A'm A B B'E Q P mA B Q P mABQ PmA BC Q P3、如图3，在锐角三角形ABC中，AＢ=52，∠BAＣ=４5,BAC的平分线交BC于D，M、N 分别是AＤ和AB上的动点，则ＢＭ+ＭN的最小值是。
4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AＤ是BC边上的中线,M是AD上的动点，E是AC边上一点．若AE=2,EM+ＣM的最小值为．5、如图５,在直角梯形ＡBＣＤ中,∠ABC=９０°，AD∥ＢC，AＤ＝４，AB＝５,BC=6，点P 是ＡB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__＿__＿__＿_.６、如图6，等腰梯形AＢＣD中,AＢ=AＤ=ＣD=1，∠AＢC=60°,P是上底，下底中点EF直线上的一点,则PＡ+PB的最小值为．7、如图７菱形ＡBCD中,AB＝２,∠BAD=６0°，E是ＡB的中点，P是对角线AC上的一个动点,则PＥ+PB的最小值为.8、如图8，菱形AＢCＤ的两条对角线分别长6和8,点P是对角线ＡC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点，则PＭ+ＰＮ的最小值是９、如图9,圆柱形玻璃杯,高为12ｃm，底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿４ｃm与蜂蜜相对的点Ａ处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________ｃｍ．１0、如图1０所示,已知正方形ABCD的边长为８,点M在DC上,且DM=２,Ｎ是AC上的一个动点,则DＮ+MN的最小值为.1１、如图1１，MN是半径为１的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠ＡＭN＝30°，B为AN弧的中点,P是直径MＮ上一动点,则PＡ+ＰB的最小值为（ )(A)2（B）(Ｃ)1 (D)2压轴题1、如图，正比例函数x y 21=的图象与反比例函数xky =（k ≠０)在第一象限的图象交于Ａ点，过Ａ点作x 轴的垂线,垂足为M ，已知三角形OAM 的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2)如果Ｂ为反比例函数在第一象限图象上的点(点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为１,在x 轴上求一点Ｐ,使ＰＡ+PB 最小.2、如图,一元二次方程0322=-+x x 的二根1x ，2x （1x <2x ）是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的两个交点B,C 的横坐标,且此抛物线过点A(3，6）．ﻫ（1）求此二次函数的解析式； (２)设此抛物线的顶点为P ，对称轴与A Ｃ相交于点Q,求点P 和点Q 的坐标;ﻫ（3)在x 轴上有一动点M ，当M Ｑ+MA 取得最小值时,求Ｍ点的坐标．3、如图，在平面直角坐标系中，点Ａ的坐标为（１，3) ，△A ＯB 的面积是3. （１)求点B 的坐标；（2)求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式; （3）在（２)中抛物线的对称轴上是否存在点Ｃ,使△ＡO Ｃ的周长最小?若存在,求出点Ｃ的 坐标；若不存在，请说明理由.4．如图,抛物线y=错误!x2-错误!x＋3和y轴的交点为A,M为ＯA的中点，若有一动点Ｐ，自M点处出发,沿直线运动到x轴上的某点（设为点E)，再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点Ｆ),最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E,点F的坐标,并求出这个最短路程的长.5.如图，已知在平面直角坐标系ｘOy中，直角梯形OABＣ的边OＡ在y轴的正半轴上，OＣ在ｘ轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OＣ=3,过点B作BD⊥BC，交OA于点Ｄ．将∠DBＣ绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（１）求经过Ａ、Ｂ、C三点的抛物线的解析式;(2）当BＥ经过（1)中抛物线的顶点时，求ＣＦ的长；(3）在抛物线的对称轴上取两点P、Ｑ(点Ｑ在点P的上方），且PＱ=1,要使四边形BＣPＱ的周长最小，求出Ｐ、Ｑ两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，Ａ,B 两点的坐标分别为A (2，-３），B (4，-1）若C (a ，０)，D (a+3,0)是x 轴上的两个动点,则当a 为何值时,四边形ABDC 的周长最短.7、如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O 在坐标原点,顶点A 、B 分别在x 轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4，D 为边OB 的中点.(1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时,求点Ｅ的坐标;(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点,且ＥF=2，当四边形ＣD ＥF 的周长最小时，求点Ｅ、F 的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点Ｐ，使PA 与PB 的差最大； （1)点A 、Ｂ在直线ｍ同侧：解析：延长AB 交直线ｍ于点P ，根据三角形两边之差小于第三边,Ｐ’A —P ’B ＜AB ，而ＰA —PB=A Ｂ此时最大，因此点P 为所求的点。
mBAmBAP'P（2）点A 、B 在直线m 异侧:解析：过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB ＝P Ｂ’，PA-P Ｂ最大值为AB ’ 练习题1. 如图,抛物线y ＝-错误!x 2－x +2的顶点为A ，与y 轴交于点B . (1)求点A 、点Ｂ的坐标；(2)若点P 是ｘ轴上任意一点,求证：PA －PB ≤AB ; (3)当P Ａ-PB 最大时，求点Ｐ的坐标．2. 如图,已知直线y ＝21x +1与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线y ＝21x 2＋b ｘ+ｃ与直线交于A 、E 两点,与ｘ轴交于B 、Ｃ两点,且Ｂ点坐标为(1，０).（１)求该抛物线的解析式;(2）在抛物线的对称轴上找一点Ｍ，使|AM -M Ｃ|的值最大，求出点M 的坐标.yxC B ADOEyB'PP'xClyx BA 3、在直角坐标系中，点A 、Ｂ的坐标分别为(－4，-1)和(－2，－5）;点P 是ｙ轴上的一个动点:⑴点P 在何处时，PA+ＰB 的和为最小?并求最小值. ⑵点Ｐ在何处时,∣PA—PB∣最大?并求最大值．4. 如图，直线y ＝-，3x ＋2与x 轴交于点C ,与y 轴交于点B ,点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙Ａ经过点B 和点Ｏ，直线BC 交⊙Ａ于点D ． （1)求点D 的坐标；（2)过O ，C ,Ｄ三点作抛物线,在抛物线的对称轴上是否存在一点P ,使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在,请求出这个最大值和点P 的坐标.若不存在，请说明理由．５、抛物线的解析式为223y x x =-++,交x 轴与A 与Ｂ,交y 轴于C. ⑴在其对称轴上是否存在一点P ，使⊿APＣ周长最小，若存在，求其坐标; ⑵在其对称轴上是否存在一点Q ，使∣ＱB —QC∣的值最大,若存在求其坐标．6、已知:如图，把矩形OCBＡ放置于直角坐标系中,ＯC＝３,ＢC=2，取AＢ的中点M,连接MC,把△ＭＢC沿ｘ轴的负方向平移ＯC的长度后得到△DAO.ﻫ(1)试直接写出点D的坐标;ﻫ(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q,连接OP．ﻫ①若以Ｏ、P、Q为顶点的三角形与△DＡＯ相似，试求出点P的坐标；ﻫ②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO-TB｜的值最大?7、如图,已知抛物线C１的解析式为y=-ｘ2+２x＋8,图象与y轴交于D点,并且顶点A在双曲线上.（1）求过顶点A的双曲线解析式;ﻫ(2)若开口向上的抛物线Ｃ2与C１的形状、大小完全相同,并且Ｃ２的顶点P始终在C１上,证明:抛物线C2一定经过A点;(３)设(2）中的抛物线C2的对称轴PF与x轴交于F点,且与双曲线交于E点，当Ｄ、Ｏ、E、F四点组成的四边形的面积为16．5时，先求出P点坐标,并在直线y=x上求一点M，使|ＭＤ-MＰ|的值最大.8、如图,已知抛物线243y x bx c =++ 经过A(３，0),B(0，4) ． （1）求此抛物线解析式;ﻫ(２）若抛物线与x 轴的另一交点为Ｃ,求点Ｃ关于直线ＡB 的对称点C ’的坐标；（3) 若点D 是第二象限内点,以D 为圆心的圆分别与x 轴、y 轴、直线AB 相切于点E 、Ｆ、H ，问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P ，使得|ＰＨ－PA |的值最大？若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由。
三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。