1复变函数综合练习题及答案第一部分 习题一. 判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√,否则填⨯.(共20题) 1. 在复数范围内31有唯一值1.( ) 2. 设z=x+iy , 则=z z 22y x +.()3. 设,2321i z -=则.32arg π=z ( ) 4. z cos =ω是有界函数.( ) 5. 方程1=ze 有唯一解z=0.( ) 6.设函数z g z f (),()在0z 处可导,则)()(z g z f 在点0z 处必可导.()7.设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在00iy x z +=处可导,则)(00,0)()(y x yui y v z f ∂∂-∂∂='.( )8. 设函数)(z f 在区域D 内一阶可导,则)(z f 在D 内二阶导数必存在. ( ) 9.设函数)(z f 在0z 处可导, 则)(z f 在0z 处必解析.( ) 10. 设函数)(z f 在区域D 内可导, 则)(z f 在D 内必解析.()11. 设),(),,(y x v y x u 都是区域D 内的调和函数,则),(),()(y x iv y x u z f +=是D 内的解析函数.( ) 12. 设n 为自然数,r 为正实数,则0)(00=-⎰=-r z z n z z dz.()13. 设)(z f 为连续函数,则⎰⎰'=1)()]([)(t t cdt t z t z f dz z f ,其中10,),(t t t z z =分别为曲线c 的起点,终点对应的t 值.( )214. 设函数)(z f 在区域D 内解析,c 是D 内的任意闭曲线,则0)(=⎰cdz z f .( )15. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析, c 是D 内的闭曲线,则对于c D z ∈0有)(2)(00z if dz z z z f cπ=-⎰. ( )16. 设幂级数∑+∞=0n n nz c在R z ≤(R 为正实数)内收敛,则R 为此级数的收敛半径. ( )17. 设函数)(z f 在区域D 内解析,D z ∈0,则n n n z z n z fz f )(!)()(000)(-=∑+∞=. ( )18. 设级数n n nz z c)(0-∑+∞-∞=在园环域)(0R r R z z r <<-<内收敛于函数)(z f ,则它是)(z f 在此环域内的罗朗级数.( ) 19. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.()20. 设函数)(z f 在圆周1<z 内解析,0=z 为其唯一零点,则⎰==1].0),([Re 2)(z z f s i z f dzπ ( )二. 单项选择题.(请把题后结果中唯一正确的答案题号填入空白处,共20题)1. 设复数3)22(i z -=,则z 的模和幅角的主值分别为____________.A. 45,8πB. 4,24πC. 47,22π2.)Re(1z z -<是__________区域.A. 有界区域B. 单连通区域C. 多连通区域3.下列命题中, 正确的是_____________. A. 零的幅角为零B. 仅存在一个z 使z z-=1C.iz z i=14.在复数域内,下列数中为实数的是__________.A. i cosB. 2)1(i -C.38-35.设i z +=1,则=)Im(sin z _________.A. sin1ch1B. cos1sh1C. cos1ch16.函数)(z f =2z 将区域Re(z)<1映射成___________.A. 412v u -<B. 412v u -≤C. 214v u -<7.函数)(z f =z 在0=z 处____________. A. 连续 B. 可导C. 解析8. 下列函数中为解析函数的是_____________.A. )(z f =iy x -2B.)(z f =xshy i xchy cos sin + C.)(z f =3332y i x -9. 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是_____________时, )(z f 在D 内解析.A. 可导函数B. 调和函数C. 共轭调和函数10. 设0z 是闭曲线c 内一点, n 为自然数,则⎰-cn z z dz)(0=________________. A. 0B. i π2C. 0或i π211. 积分dz z zz ⎰=-22)1(sin =_______________. A. 1cos B. i π21cos C. i π2sin112. 下列积分中,其积分值不为零的是___________________. A.⎰=-23z dz z zB. 1sin z zdz z =⎰C.⎰=15z zdz ze 13. 复数项级数∑+∞=13n nnz 的收敛范围是________________.A. 1≤zB.1<zC.1>z14. 设函数)(z f 在多连域D 内解析,210,,c c c 均为D 内闭曲线且210c c c ⋃⋃组成4复合闭路Γ且D D ⊂Γ,则___________________. A. 0)()()(21=++⎰⎰⎰c c c dz z f dz z f dz z fB. 0)(=⎰Γdz z fC.⎰⎰⎰-=21)()()(c c c dz z f dz z f dz z f15.函数)(z f =221ze z-在z=0的展开式是_______________________. A. 泰勒级数B. 罗朗级数C. 都不是16. 0=z 是4)(zshzz f =的极点的阶数是_____________. A. 1B. 3C. 417. 0=z 是411)(zez f z-=的____________________. A. 本性奇点B. 极点C. 可去奇点18. 设)(z f 在环域)0(0R r R z z r <<<-<内解析,则n n nz z cz f )()(0∑+∞-∞=-=,其中系数n c =______________________.A.!)(0)(n z fn , ,2,1,0=nB.!)(0)(n z fn ,,2,1,0±±=nC.,,2,1,0,)()(2110 ±±=-⎰+n d z f i c n ζζζπc 为环域内绕0z 的任意闭曲线. 19. 设函数)(z f =1-ze z,则]2),([Re i z f s π=__________________. A. 0B. 1C. i π2 20. 设函数)(z f =)1(cos -z e z z,则积分⎰=1)(z dz z f =________________.5A. i π2B. ]0),([Re 2z f s i πC. .2,0,]),([231i z zz f ik k kππ±=∑=三. 填空题 (共14题)1. 复数方程31i e z-=的解为____________________________________. 2. 设i z 22-=,则z arg =_____________,z ln =___________________________. 3.411<++-z z 表示的区域是___________________________________.4. 设,sin )(z z z f =则由)(z f 所确定的 ),(y x u =____________________,),(y x v =_______________________.5. 设函数)(z f =⎩⎨⎧=≠+-0,00,sin z z A e z z 在0=z 处连续,则常数A=____________.6. 设函数)(z f =ζζζζd z z ⎰=-++22173,则)1(+'i f =________________________.若)(z f =ζζζζd z z ⎰=-+2353,则)(i f ''=________________________. 7. 设函数)(z f 在单连域D 内解析,G(z )是它的一个原函数,且D z z ∈10,,则⎰1)(z z dz z f =_______________________.8. 当a =________时,xyiarctgy x a z f ++=)ln()(22在区域x>0内解析. 9. 若z=a 为f(z )的m 阶极点,为g(z)的n 阶极点(m>n ),则z=a 为f(z)g(z)的__________阶极点,为)()(z g z f 的____________阶极点. 10. 函数)(z f =tgz 在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为_________________. 11. 函数)(z f =zzsin 在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为_____________.612. 设∑+∞-∞==n nn z c z z 3sin ,则______________________,02==-c c .13. 积分dz zez z⎰=11=________________________.14. 留数__________]0,1[Re _,__________]0,1[Re 2sin sin =-=-z e s z e s z z . 四. 求解下列各题(共6题)1. 设函数)(z f =)(2323lxy x i y nx my +++在复平面可导,试确定常数l n m ,,并求)(z f '.2. 已知,33),(22y x y x u -=试求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足i f =)0(.3. 试讨论定义于复平面内的函数2)(z z f =的可导性. 4. 试证22),(y x yy x u +=是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足1)(=i f .5. 证明z e z f =)(在复平面内可导且zz e e =')(.6. 证明⎰⎩⎨⎧>==-c n n n i z z dz1,01,2)(0π,其中n 为正整数,c 是以0z 为圆心,半径为r 的圆周.五. 求下列积分 (共24题)1. 计算dz z c⎰sin ,其中c 是从原点沿x 轴至)0,1(0z ,然后由0z 沿直线x=1至)1,1(1z 的折线段.2.⎰+cdz z z )]Re(2[,其中c 是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周.73.⎰+-cdz z z)652(2, 其中c 为连接A(1,-1),B(0,0)的任意曲线.4.dz ze iz ⎰+π11. 5.dz z z i z ⎰=-++21)4)(1(122 6.dz z z zz ⎰=--ππ2)1(cos 2.7.⎰=-232)(sin z dz z zπ. 8.⎰-+=cz z dzI )2()1(2,其中c 为r r z ,=为不等于1,2的正常数. 9.⎰++=cz z dzI )1)(12(2,其中曲线c 分别为1)1=-i z2)23=+i z 10. 设c 为任意不通过z =0和z =1的闭曲线,求dz z z e cz⎰-3)1(. 11. 23cos sin [](2)zzz e z e I dz z z z ==+-⎰. 12.⎰=--2)1(12z dz z z z . 用留数定理计算下列各题.13. dz z z e z z⎰=-1302)(,其中0z 为10≠z 的任意复数.14. dz z e z z⎰=+222)1(π.815.⎰=-24)1(sin z dz z zπ. 16.dz z z zz ⎰=-+12)12)(2(sin π. 17.⎰=1z zdz tg π.18.dz z zz ⎰=22sin . 19.⎰=+-122521z dz z z . 20.dz z z z ⎰=+-14141. 21.dz iz z z ⎰=-+122521.22. dz z z z c ⎰++)4)(1(222,其中c 为实轴与上半圆周)0(3>=y z 所围的闭曲线.23. dz z z c ⎰++1142,其中c 同上.24.⎰++c dz z z )1)(9(122,其中c 为实轴与上半圆周)0(4>=y z 所围的闭曲线. 六. 求下列函数在奇点处的留数 (共8题)1.421)(z e z f z-=.2. 1sin )(-=z z z f .3.3)1(sin )(z zz f +=.94.224)1(1)(++=z z z f . 5.1)(-=z e z z f . 6.2)1()(-=z z e z f z. 7. 11)(23+--=z z z z f .8.z zz f sin 1)(+=. 七. 将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数 (共10题)1.)2()1(1)(22z z z z f --=110<-<z2.13232)(2+--=z z zz f231<+z 3.1)(-=z e z f z+∞<-<10z4. 21)(2--=z z z f1)1<z ,2). 1<z <2,3). 2<∞<z5.)1(1)(2z z z f -=110<-<z 6.z z f cos )(=+∞<-πz 7.2)1(1)(z z f +=1<z8.zzz f sin 1)(+=π<<z 0 (写出不为零的前四项)9.)1(cos )(2-=z e z z z f+∞<<z 0 (写出不为零的前三项)1010. zz z f sin )(=π<<z 0 (写出不为零的前三项)11第二部分解答一、判断题.(共20题)1. ×2. √3. ×4. ×5. ×6. ×7. √8. √9. × 10. √ 11. × 12. × 13. √ 14. × 15. √ 16. × 17. × 18. √ 19. √ 20. √二、单项选择题.(共20题)1. A.2. B.3. C.4. A.5. B.6. A.7. A.8. B.9. C. 10. C. 11. B. 12. C. 13. A. 14. B. 15. B. 16. B. 17. A. 18. C. 19. C. 20. B.三、填空题 1.,210)(235(2ln ±±=++，，k k i ππ) 2.47π ，i 472ln 23π+ 3. 13422<+y x 4. xshy y xchy x cos sin - ， xchy y xchy x sin cos +5. 16. i ππ2612+- ，π36-7.)()(01z G z G -8.21 9.n m + ，n m -10.2π 11. π<<z 01212. 1 ，-61 13.i π14. 0 ，1四、求解下列各题1. 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2323),(),(lxyx y x v ynx my y x u利用yv nxy x u ∂∂==∂∂2 ，得l n =222233ly x xvnx my y u --=∂∂-=+=∂∂，得3-=n ，3-=l ，1=m 则 )33(6)(22y x i xy xvi x u z f -+-=∂∂+∂∂='23iz =2. 由于x xu y v 6=∂∂=∂∂ 所以 ⎰+==)(66),(x xy xdy y x v ϕ，)(6x y xvϕ'+=∂∂ 又由yux v ∂∂-=∂∂，即y x y 6)(6='+ϕ 所以 0)(='x ϕ，C x =)(ϕ（C 为常数）故 c xy y x v +=6),(，ci z i c xy y x z f +=++-=2223)6(33)(将条件 i f =)0(代入可得1=C ，因此，满足条件i f =)0(的函数i z z f +=23)(3. 由题意知⎩⎨⎧=+=0),(),(22y x v y x y x u ，由于1302=∂∂==∂∂y v x x u ，02=∂∂-==∂∂x v y y u 可得⎩⎨⎧==00y x 由函数可导条件知，2)(z z f =仅在0=z 处可导。