关于不定积分的一点注记
【摘要】不定积分是积分学的一个重要部分，本文针对不定积分中的两个问题进行了分析： 1、求不定积分时易错解析；2、某些不定积分的非初等性问题。
【关键词】不定积分；错误分析；非初等性。
一、不定积分计算中的常见错误成因分析及对策。
1、运算中漏掉“c”、“”
例1：求错解： =
例2：求
错解： =
发生这类错误，有三种可能的情形：（1）不定积分概念不清楚；（2）对“c”出现的意义不明确；（3）粗心大意。
切记不定积分指的是该函数所有的原函数，而所有原函数是通过一个原函数之后加上任意常数“c”来体现的，只是中的一个原函数。
例3：求
错解：
=
此题的错误反应出：1）、对符号““意义不清楚；2）、说到运算符号，思维仍停留在初等数学的运算符号上。
2、求积分与求导相混淆：
求不定积分与求导是一对互逆的运算。
但总有人在做题时将两者混淆。
例4：求
错解： =
此题错在把求函数的原函数误解成求的导数。
3、对公式的错误运用。
例5：求
错解：
此错误是由于对公式的模式特征识别有误。
4、对公式的错误应用
例6：求
错解： =
例7：求
错解： =
对于例6，错误是由于对幂函数积分公式的模式识别有误，从题目的形式看，该题不能直接运用幂函数积分公式，只有具有正常形式：
时才可以用幂函数积分公式。
例24的错误由，得出
5、系数问题、符号问题
例8：
6、被积函数的定义域与原函数的定义域不相同。
例9、求下列不定积分：
;;
错解：
=
对于a与b题解题过程中，分子和分母分别同除以，而此时则增加了条件，这与定义域显然是不相符的。
对c题似乎天衣无缝，此解法确实具有较高的技巧性，可惜其有瑕疵。
分析如下：被积函数的定义域是实数，解题中没有注意到这一情况，即使到了最后做了补救，但仍有漏洞。
被积函数和它的原函数的定义域不同，如： = 然而因为。
7、分段函数积分中的常见错误
例10：设f(x)={求
错解：先分段求出（去掉分段点）
={在考虑分段点的情形：由于x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的连续点，因此f(x)的不定积分只能分别在区间内得到，令 ,解得
c = ,因此：
={其中c 是两个独立常数。
分析：错误之一:没有认识到如果一个函数f具有第一类间断点，那么f不存在原函数。
错误之二：若，这里c（常数）只能是一个，而本题的不定积分表达式中却出现了c 这两个独立的常数，这也导致了本题解法的第三个错误：根据不定积分的定义，求出来的原函数簇是可导的，但如果c 是两个独立的常数的话，函数将是不连续的，当然更不可能可导。
二、某些不定积分的非初等性问题
我们知道，初等函数在其定义域内是连续的，而任何连续函数的不定积分都是存在的，由于不定积分就是求函数的原函数，因此，每个初等函数在其定义区间上都有原函数。
在实际求积分的过程中，能够通过不定积分的方法求得原函数的函数，它的原函数一定是初等的。
但有些看似简单的函数它的原函数却无法用初等函数表示，如何判断是比较复杂的。
下面就谈谈几类简单而有代表性的原函数是非初等的。
定理：设f是有理函数，g是多项式函数，若不定积分
是初等的，则它的形式为 =（1）
其中r(x)也是有理函数。
评注：如果（1）成立，显然是初等的。
所以本定理也可叙述为：不定积分具有初等性的充要条件是：存在有理函数 ,使得
在运用定理去证明（一般采用反证法）某些积分的非初等性，先要对等式（1）作适当变形，求导，并约去非零因子，得到：(2)
再令 , 和是互质多项式，代入（2）后又可得：
(3)
由此可将定理改为：当且仅当存在互质多项式和，满足（3）式时，是初等的。
微分学中的一个简单而又重要的结论：
如果是多项式的一个重零点（）,则必定是的一个r-1重零点，即若：
例11：证明：不是初等函数。
证：假设它是一初等积分，则存在多项式、（互质），满足（3）式，将代入：（4）
如果的次数大于等于1，则在复数域中必存零点，设某一零点为 ,且重数 .由于与互质，故 .这样，既是（4）式左端的零点，重数；又是（4）式右端的零点，重数为。
这个矛盾是由于假设了的次数所引起的，所以只可能是非零的常数。
设这时（4）式变成（5）
由于是多项式，是次数大于的多项式，故（5）式两端的次数不可能相等，这又导致了矛盾，所以不存在互质的、满足（3）式，即：是非初等的。
证毕
根据例11可仿证不是初等积分。
在以上例子的基础上，通过适当的变量转换或分部积分，则能导出另外一些非初等积分，如：
令
令,
以上几个等式右端出现的均为非初等的。
下面介绍一种判断函数不是初等函数的方法：
定理：设的反函数都是初等的，则是非初等的当且仅当也是初等的。
证明：设 ,
如果是非初等的，则是非初等函数。
又因为
如果是初等函数，则也是初等函数，且是初等函数，所以 [ ]是初等函数，这与假设
是非初等函数矛盾。
故如果是非初等函数，则也是非初等函数。
同理可证，如果是非初等函数，则也是非初等函数。
证毕。
例12：判断以下积分的初等性问题：
1）、2）
参考文献：
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