中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1～56～1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw271．设71a，则代数式32312612aaa 的值为( >.<A ）24 <B ）25 <C ）4710 <D ）47122．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：<a b ，）△<c d ，）＝<ac bd adbc ，）．如果对于任意实数u v ，，都有<u v ，）△<x y ，）＝<u v ，），那么<x y ，）为( >.qfRgF4dw27<A ）<0，1） <B ）<1，0） <C ）<﹣1，0） <D ）<0，-1）3．若1x ，0y，且满足3yyx xyx xy，，则x y 的值为( >.<A ）1 <B ）2 <C ）92 <D ）1124．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDFBCFCEFEADFS S SS S S SS 四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( >.<A ）1324S S S S <B ）1324S S S S <C ）1324S S S S <D ）不能确定5．设3333111112399SL，则4S 的整数部分等于( >.<A ）4 <B ）5 <C ）6 <D ）7 二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x xx m 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .NW2GT2oy018．如图，点A B ，为直线y x 上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1yx<x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC ，则224OCOD的值为 .NW2GT2oy019．若112y x x的最大值为a ，最小值为b ，则22ab 的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .NW2GT2oy01三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20xcx a 的两个整数根恰好比方程20xax b 的两个根都大1，求a b c 的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.<第8题）<第10题）13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223yx 于P ，Q 两点.<1）求证：∠ABP =∠ABQ ；<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60o ，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解读式.14．如图，△ABC 中，60BAC ，2ABAC ．点P 在△ABC内，且352PAPB PC，，，求△ABC 的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．A 解：因为71a，17a ，262aa ，所以322312612362126261261260662126024.aa a a a a a aa a a（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uyv ，，即(1)0(1)0u x vy v x uy，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得<x y ，）=<1，0）．<第13题）<第12题）<第14题）3．C解：由题设可知1y yx，于是341yy xyxx，所以411y ，故12y，从而4x ．于是92x y．4．C解：如图，连接DE ，设1DEFSS ，则1423S S EF S BFS ，从而有1324S S S S ．因为11S S ，所以1324S S S S ．5．A 解：当2 3 99kL ，，，时，因为32111112111kk k k k k k ，所以3331111115111239922991004S L.于是有445S ，故4S 的整数部分等于4．二、填空题6．3＜m ≤4解：易知2x是方程的一个根，设方程的另外两个根为12x x ，，则124x x ，12x x m ．显然1242x x ，所以122x x ，164m ≥0，即2121242x x x x ，164m ≥0，所以1642m，164m ≥0，解之得3＜m ≤4.<第4题）7．19解：在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369.NW2GT2oy018．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，）因为点C D ，在双曲线1yx上，所以11ab cd ，．由于AC a b ，BDcd ，又因为2BDAC ，于是22222242c da b ccddaab b ，（），所以22224826ab c d ab cd（）（），即224OCOD6.9．32解：由1x ≥0，且12x≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416yxx x ．由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b．10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235ab＝1225．①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AF CBAC，即1212b ab，故<第8题）<第10题）12()a b ab．②由①②得2222122524a b a b ab a b（）（），解得a＋b＝49<另一个解－25舍去），所以493584a b c．三、解答题11．解：设方程20x ax b的两个根为，，其中，为整数，且≤，则方程20x cx a的两根为11，，由题意得11a a，，两式相加得2210，即(2)(2)3，所以2123，；或232 1.，解得11，；或53.，又因为[11]a b c（），，（）（），所以012a b c，，；或者8156a b c，，，故3a b c，或29.12．证明：如图，延长AP交⊙2O于点Q，连接AH BD QB QC QH，，，，.因为AB为⊙1O的直径，所以∠ADB∠BDQ90°，故BQ为⊙2O的直径.于是CQ BC BH HQ，.<第12题）又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AHBC BH AC ，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：<1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）.设直线PQ 的函数解读式为y kxt ,并设P Q ，的坐标分别为P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t yx ，，得2203xkx t ，于是32P Qx x t ，即23P Q tx x . 于是222323P P QQ x t y t BC BDy tx t22222()333.222()333P P Q P P Q PQQP QQ QP x x x x x x x x x x x x x x 又因为P Qx PC QDx ，所以BC PC BDQD.因为∠BCP ∠90BDQ ，所以△BCP ∽△BDQ ，故∠ABP=∠ABQ . <2）解法一设PCa ，DQb ，不妨设a ≥b >0，由<1）可知∠ABP =∠30ABQ，BC =3a ，BD =3b ，所以AC =32a ，AD =23b .因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是PC AC DQAD，即3223a a bb，<第13题）所以3a b ab ．由<1）中32P Q x x t ，即32ab，所以33322aba b，，于是可求得2 3.a b将32b代入223yx ，得到点Q 的坐标<32，12）. 再将点Q 的坐标代入1y kx ，求得3.3k所以直线PQ 的函数解读式为313y x .根据对称性知，所求直线PQ 的函数解读式为313yx ，或313yx .解法二设直线PQ 的函数解读式为y kx t ,其中1t .由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ ，所以2BQ DQ .故222(1)QQQx xy .将223QQ y x 代入上式，平方并整理得4241590QQxx，即22(43)(3)0QQxx.所以32Qx 或 3.又由 (1>得3322P Qx x t ，32P Qx x k . 若32Qx ，代入上式得3Px ，从而23()33PQ kx x .同理，若3Q x ，可得32Px ，从而23()33P Q k x x .所以，直线PQ 的函数解读式为313y x ，或313y x . 14．解：如图，作△ABQ ，使得QABPAC ABQACP ，，则△ABQ ∽△ACP .由于2AB AC ，所以相似比为 2.于是22324AQAP BQCP ，．60QAPQABBAPPACBAPBAC .由:2:1AQ AP 知，90APQ，于是33PQAP ．所以22225BP BQPQ ，从而90BQP．于是222()2883ABPQAP BQ .故213673sin 60282ABCS AB AC AB ．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。