根式的运算平方根与立方根一、知识要点 1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0a ≥0。
4、公式：⑴2=a （a ≥0a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)-例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）．A ．2B ．±2C ．4D ．±4 2、144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ． 4、327= ， 64-的立方根是 ； 5、7的平方根为 ，21.1= ；6、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ；7、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ；8、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；10、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ；11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2） 3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4） 31(1)802x -+=1323(2)0y z -++=，求xyz 的值。
14、若y =，求2x y +的值．15、已知：ｘ－2的平方根是±2, 2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根．16、若12112--+-=x x y ，求x y 的值。
二次根式一、知识点1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算：⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算：①ab =b a •（a ≥0,b ≥0）； ②()0,0>≥=b a ba b a【例题讲解】一、利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
）例1 ：x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1） （2）121+-x （3）45++x x(4).例2：若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x【基础训练】1、下列各式中一定是二次根式的是（ ）。
A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x2、若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是（＞0）（＜0） 0 （=0）；3、若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。
4是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．5、设m 、n 满足329922-+-+-=m m m n ，则mn = 。
6、若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 7、若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<<m B 、2≥m C 、2<m D 、2≤m二、利用二次根式的性质2a =|a |=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 【例题讲解】例1 ：已知233x x +＝－x3+x ，则（ ）A.x ≤0B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0例2 ：化简21)2(---x x 的结果为（ ） A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--x D 、x --2【基础训练】1、已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ） A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a -2、若化简|1-x |-1682+-x x 的结果为2x-5则（ ） A 、x 为任意实数 B 、1≤x ≤4 C 、x ≥1 D 、x ≤43、已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=4、化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ） A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y -5、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（ ）。
A 、0=a ；B 、1=a ；C 、0=a 或1；D 、1≤a三、二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0），即||2a a =以及混合运算法则） 【例题讲解】 （一）化简与求值例1：把下列各式化成最简二次根式：（1）833 （2）224041- （3）2255m （4）224y x x +例二：计算：25051122183133++--【基础训练】1、下列哪些是同类二次根式：（1）75，271，12，2，501，3，101； （2）,533c b a323c b a ，4cab，a bc a2、计算下列各题：（1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅；（3）a c c b b a 53654⋅⋅ （4）24182 （5）－545321÷3、已知1018222=++x x x x，则x 等于（ ） A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±44、211+＋321+＋431+＋…＋100991+（二）先化简，后求值： 1. 直接代入法：已知),57(21+=x ),57(21-=y 求(1) 22y x + (2) y x x y +2.变形代入法：（1）变条件：①已知：132-=x ，求12+-x x 的值。
②.已知:x =2323,2323-+=+-y ，求3x 2－5xy +3y 2的值（2）变结论：1、设 3 =a ，30 =b ，则0.9 = 。
2、已知12,12+=-=y x ，求xyy x x y y x 33++++ 。
3、已知5=+y x ，3=xy ，（1）求x yy x +的值 （2）求yx y x +-的值四、关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题1.估算31－2的值在哪两个数之间（ ）A ．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5 2．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 3.已知9+13913-与的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a +4b +8的值4.若a ，b 为有理数，且8+18+81=a+b 2，则b a= .五、二次根式的比较大小（1）3220051和 （2）－5566-和 （3）13151517--和（4）设a=23-, 32-=b ,25-=c , 则（ ）A. c b a >>B. b c a >>C. a b c >>D. a c b >>六、实数范围内因式分解：9x 2－5y 24x 4－4x 2＋1 x 4+x 2－6练习：1、若，则xy 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 2、若230a b --=，则2a b -= ． 3、计算： （1） （2（3）． （4）．42x -322x x x -x 值，代入化简后的式子求值。
5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 222()a b a b -b a y b a x +=-=,a 2b 2b a +b a -6、若，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．7、如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是A ．B ．C ．D ．8、已知：1110a a +=+，求221a a+的值。
9、已知：,x y 为实数，且113y x x -+-+，化简：23816y y y ---+。
10、已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求11、先阅读下列的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将2a b ±化简，若你能找到两个数m 和n ，使22m n a +=且mn b =，则2a b±可变为222m n mn+±，即变成2()m n ±开方，从而使得2a b±化简。