n1 = Α1N L , n2 = Α2N L , …, nk = ΑkN L (11)
∑ N
L
k i= 1
Αi
Ni
=
1
(12)
又设 N L 为最大应力级 S 1 作用下材料破坏的循环
数, 则根据材料疲劳的 S 2N 曲线, 有
N 1 N i = (S i S 1) m
(13)
代入式 (12) , 得到估计疲劳寿命的计算式为
2Π - ∞
(3)
称式 (3) 中的 x f 为与失效概率 P f 相联系的安全寿
命, 按定义可靠度为
R ( t > tR ) = (1
∫∞
2Π) exp (- t2 2) d t (4) -∞
式 中, tR = (x R + Λ) Ρ, x R = Λ+ tR Ρ, 称 x R 为与可靠
度 R 相联系的安全寿命。
k
∑ N L = N 1
Αi (S i S 1) d
(15)
i= 1
可见式 (14) 与式 (15) 十分相似, 因此, 柯特2多兰理
论可以认为是对应于另一种形式疲劳曲线的迈纳公
式。对于低应力损伤分量占的比重较大的场合, 应用 柯特2多兰理论估计的疲劳寿命, 将比用迈纳理论估 计的疲劳寿命较符合实际。
3 工程实例
例 1: 已知某零件承受循环等幅交变应力, 寿命 服从对数正态分布, 即: lg N ～ N (Λ, Ρ) = N (6. 647, 0. 292)。 求: ①给定失效概率 P f = 10- 2, 求安全寿 命。 ②该零件能运转 158 000 次循环而不失效的可 靠度为多少?
解: ①利用式 (4) , x f = Λ- tf Ρ, 其中 Λ= 6. 647, Ρ= 0. 292。由 P f = 10- 2查正态分布表得 tf = 3. 0, 代 入上式得: x f = 5. 771, 所以, N f = lg- 1 x f = lg- 1 5. 771= 5. 902×105, 故给定 P f = 10- 2时的安全寿命为 5. 902×105。
Ρ 2Π - ∞
令 t=

(x
Ρ
Λ)
,
d
t=
dx
Ρ, 代入式 (1) , 则有
P f (t) = (1
∫∞
2Π) exp (- t2 2) d t -∞
(2)
记- tf = (x f - Λ) Ρ, x f = Λ- tf Ρ, 按定义失效概率为
P f ( t < tf ) =
∫ 1
∞
exp (- t2 2) d t
②给定 N = 158 000 次, lg N = 5. 198 7, 则 tR = (x R - Λ) Ρ= - 4. 959 9, 查 正 态 分 布 表 得 R = 0. 999 9, 所以, 运转 158 000 次循环的可靠度为 R = 0. 999 99。
例 2: 某零件受不稳定变应力作用, 应力谱统计 划 分 为 9 级, 应 力 水 平 中 最 大 的 一 级 为 S 1 = 20 kN cm 2, 其在相应的疲劳曲线上达到破坏的循 环次数为N = 5. 9×104 次循环。设已知零件疲劳曲 线的斜率为 m = 6, 疲劳极限为 S 0= 10 kN cm 2。 试 分别按迈纳法和柯特2多兰法估计该零件的疲劳寿
= P i 时的疲劳寿命。
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国外建材科技 2005 年 第 26 卷 第 4 期
论有一定的局限性, 但目前仍被广泛地应用着, 主要
原因在于它比较简便, 且 D 作为一个随机变量而
言, 其数学期望为 1, 用它来估计寿命效果比较好。
设 N L 为在变幅载荷下零部件的疲劳寿命, 令
k
∑ Αi= n i
nl 为第 i 级应力 S i 作用下的工作循环
l= 1
次数与各级应力下总的循环数之比, 则有
映出零件的不同失效机理。
2 不稳定变应力的疲劳寿命分析
2. 1 载荷 (应力) 累积频次分布 在各种机械设备中, 有不少零部件且大多为主
要零部件, 是在不稳定变应力条件下工作的。要预测 这些零件的疲劳寿命, 取决 3 个基本因素: 一是零件 上应力谱的形式, 二是在等幅变应力下零件的 S 2N 曲线及其特征, 三是与前二者有关的疲劳损伤累积 理论及其表达式。对于承受随机载荷的零件, 在进行 疲劳计算时, 必须要搞清楚零件上危险点的位置, 以 及在随机载荷作用下危险点上的应力随时间变化的 历程, 这一般可以用实测法得到。将实测所得的应力 2时间历程, 经过适当的计数法统计后可以给出实测 应力累积频次分布。 这种载荷 (应力) 谱不仅是用来 估计零件疲劳寿命的原始资料; 而且也是作为进一 步备在实验室中进行模拟加载试验的基本依据。 在 绘制实测应力累积频次分布图时, 忽略了应力的先 后次序对疲劳的影响。但如果增加应力级数, 则应力 先后次序的影响会减小, 这样在不同的程度加载下, 疲劳寿命差别就不会很大。 现在大多采用 8 个应力 级的试验程序, 认为这就足以代表连续应力2时间历 程了。 2. 2 按疲劳损伤累积理论预测疲劳寿命
k
∑ d 1 + d 2 + … + d k =
d iD
(8)
i= 1
d N
1D
1
+
d N
2D
2
+
…+
d N
kD
k
=
D
(9)
k
∑(d i N i) = 1
(10)
i= 1
式中, D 为总损伤量, d i 为损伤分量, n i 为试件在应
力 S i 作用下的工作循环次数。N i 为材料在应力级
S i 下直至破坏的循环数。
就能很好地描述这一特性。 三参数威布尔分布其概
率密度函数为
f (N ) =
b
5
7 5
b- 1
exp -
7b 5
(5)
式中, Х= (N T - N 0 ) , 7 = N - N 0, N 0 为最小寿命
(位置参数) ; N T 为特征寿命, b 为形状参数。当寿命
为 N 时的破坏概率为
F (N ) = 1 - exp [ - (7 5 ) b ]
承受交变载荷的零部件、机器, 其失效形式往 往是疲劳失效, 工程设计的主要任务就是要预测在 交变载荷作用下, 零部件、机器的疲劳寿命。 所谓预 测就是一种估计预报方法, 它是由收集载荷、环境条 件、强度试验, 寿命试验和可靠性试验等数据, 来预 测零部件或系统在现场实际使用性能的一种方法。 零件受循环变幅应力时, 在应力集中处产生最大应 力, 若它小于材料的疲劳极限, 则称为无限寿命设 计, 此时不存在寿命预估问题。而无限寿命设计的依 据是, 零件在交变载荷的作用下, 可以无限长时间的 使用而不损坏。 但对某些只需工作一定期限又要求 重量轻、体积小、可靠度要求高的零部件, 若都按无 限寿命设计必然显得极不合理, 在工作载荷出现高 峰载荷且次数较少时更是如此。为弥补这一缺陷, 可 以考虑允许出现大于疲劳极限的应力, 从疲劳强度 观点看, 这并非导致立即疲劳破坏, 零件仍能工作一 段时间。 这就是有限寿命设计, 它的依据是, 零件在 规定的使用寿命期间不致因交变载荷的作用产生疲 劳损伤而失效, 同时又充分发挥材料的性能, 即零件 在达到使用寿命时, 已经开始逐步丧失工作能力, 这 种设计比无限寿命设计节约大量的材料, 所以在进 行有限寿命设计时, 就存在一个疲劳寿命预估问题。 寿命的预估准确与否, 将直接关系到机器的使用可 靠性与安全性。
理论为迈纳 (M iner) 线性累积损伤理论, 这个理论 假定, 在试件加载过程中, 每一载荷循环都消耗掉试 件一定的有效寿命分数; 疲劳损伤与试件吸收的功 成正比, 这个功与应力的作用循环次数和在该应力 值下达到破坏的循环次数之比成比例, 试件达到破 坏时的总损伤量 (总功) 是一个常量, 它是载荷的简 单函数, 且损伤与载荷作用的次序无关; 各循环应力 产生的所有损伤分量之和等于 1 时, 试件发生破坏。 归纳起来就可得出如下的基本关系式
1 等幅变应力作用疲劳寿命分析
机械零件中, 如轴类及其它传动零件, 它们多半 承受对称或不对称循环的等幅变应力的作用。 根据 这些零件或试件所得到的实验数据进行统计分析, 其分布函数常为对数正态分布或威布尔分布, 分别 讨论。 1. 1 服从对数正态分布的疲劳寿命
在对称循环等幅变应力作用下的试件或零件,
根据大量试验数据的统计, 实际达到破坏时的
总累积损伤量 D 值约在 0. 61～ 1. 45 之间, 而在变
幅载荷下, D 值不但与载荷幅值而且与作用次序有
关, 且差别更大。此外, 按迈纳理论, 累积损伤只产生
在应力大于材料的疲劳极限的范围, 小于材料的疲
劳极限, 则不引起损伤且具有无限寿命。虽然迈纳理
则零件的可靠度为
线外还要应用疲劳损伤累积理论。 常用的累积损伤
exp [ - (7 5 ) b ] 当 N > N 0
R (N ) =
1
当N ≤N 0 (7)
在威布尔分布的应用研究中, 关键是要解决形状参
数 b 的估计。这在有关资料中已介绍得很多了。它和
零件的可靠度和失效率有着密切的联系, 能直接反
1. 2 疲劳寿命服从威布尔分布的情况
正态分布存在明显的缺点, 即无论把应力取得
如何低, 总存在一个失效概率 (尽管它的值是很小
的) , 这等于说不存在失效概率等于零的应力值, 显
然这与疲劳的物理背景不相符, 因为材料或零部件