债券的久期
对于每个支付期的票面利率为c、每个支付期到期收益率为y，还有N个支付期 的债券，其久期计算公式为
D 1 1 N ( y c) (1 y) y c[(1 y)N 1] y
若该债券以面值出售
1 y
1
D y [1 (1 y)N ]
例：考虑息票率为10%，30年期的债券，每年支付利息2次，假设该债券按面 值发行，求该债券的久期

cN
(1

y)N 1 (1 y)N c[1 (1 y)N ]
y
N (1
y (1 y)N
y)N
1
D 1 p [(1 y)] p y

1
1 y

N ( y c) (1 y) c[(1 y)N 1] y
所以，息票率c越大，则Macaulay久期D越小。另外当 N→∞，久期为1+1/y

C (1 y)n

F (1 y)n
n1

F k

F k

F
t1 (1 y)t (1 y)n (1 y)n
持有n+1期的债券，有
pn1

n1 t 1
F k (1 y)t

F k (1 y)n

F k (1 y)n1

F (1 y)n1
债券的久期
当0 y k时，有1 k 1，则 1 y
...
TCT (1 y)T
]/
CT (1 y)t
T
债券的久期
定理2：息票债券的Macaulay久期小于它们的到期 时间。
D

T t 1
t

[
(1
Ct y)t
/
T t 1
Ct (1 y)t
]

[ 1C1 (1 y)

2C2 (1 y)2
,...,
TCT (1 y)T
债券的久期与凸性
主要内容
债券的久期 债券的凸性 债券组合的久期与凸性
债券的久期
市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响： 债券本身的资本利得，利息收入及其再投资收益。 债券投资管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动 带来的风险，即利率风险免疫（Interest rate immunization），即使得债券组合对利率变化不敏感。
一、久期的性质
久期是债券风险的计量指标，债券的久期与债券投 资回报的标准差（即债券的风险）的关系如下
由修正久期的定义 dP / P D*得到 dy
r dP D* dy P
债券的久期
则债券回报率的方差为
Var(r) Var( dP) D*2 Var(dy) P
则债券回报率的风险（标准差）为
D

1
0.05 0.05
[1

(1

1 0.05)60
]
19.8758(半年) 9.9379年
债券的久期
定理4：在息票率不变的条件下，到期时期越长，久期越大。
证明要点：若息票率相同，长期债券的波动大于短期债券
证明：对于任意的息票率k，持有期为n的债券价格为
pn

n1 t 1
C (1 y)t
债券的久期
设债券的价格p满足P

T t 1
Ct (1 y)t
, 则有
dP
dy

T t 1Biblioteka tCt (1 y)t1
1 1 y
T t 1
tCt (1 y)t
dP / P
dy
T
(
t 1
(1
tCt y)t
1
)
/
P

1 1 y
T
(
t 1
tCt (1 y)t
]/
T t 1
Ct (1 y)t

[
T (1
C1 y)

TC2 (1 y)2

...

TCT (1 y)T
]/
T t 1
Ct (1 y)t
T
所以，D＜T
债券的久期
定理3：在到期时间相同的条件下，息票率越大，久期越短。
证明：不妨将面值单位化为1，息票率为c，则
N c
1c
1
债券的久期
定理1：零息债券的Macaulay久期等于它们的到期时间。 短期国债的Macaulay久期就是其投资期限。
D

1 p
T t 1
tct (1 y)t
T
t [
Ct
T
/
Ct ]
t1 (1 y)t t1 (1 y)t
[ 10 (1 y)

20 (1 y)2
y
y
dy
dy
以上的证明表明，在息票率不变的条件下，长期债券总是变化得更加剧烈， 即长期债券的久期大于短期债券。
债券的久期
定理5：久期以递减的速度随到期时间的增加而增加。
/
T t 1
Ct (1 y)t
)
D D* 1 y
D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。
债券的久期
dP / P D D* dy 1 y
D

T t 1
t

[
(1
Ct y
)t
/
T t 1
Ct (1 y)t
]
其中，wt为t时期的权重
F (1
k y)n1

F (1 y)n1

F (1 y)n
1 1
k y

F (1 y)n
由此可见， 当y k时，pn1 pn
同理可证， 当y k时，pn1 pn
即 - pn1 / Pn1 pn / Pn dpn1 / Pn1 dpn / Pn
1
p

[1
]
k1 (1 y)k (1 y)N y (1 y)N (1 y)N
两边取对数得到

1 y
[c

(1
c y
)
N

(1

y y
)
N
]
ln
p

ln{c[1
1 (1 y)N
]

y (1 y)N
}
ln
y
债券的久期
ln p 1 p y p y


1 y
r
Var(r)
Var( dP ) P
D*2 Var(dy) D* Var(dy)
在收益率微小变动下，债券回报率的标准差（风险）为 收益率的D*倍。D *越大债券风险越大。
债券的久期
债券的久期与息票率、收益率和到期时间有关， 故久期性质就是讨论上述的变量关系，并以此探讨 债券风险的特征。
T
t wt
t 1
久期是对债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率 变化引起的债券价格变化越大
久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值占 总现值的比例
债券的久期
久期：现金流现值翘翘板的支点
现 金 流
时间
久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流 发生时间加权平均的结果！
债券的久期