系统不一定都存在平衡点； 但系统也可能有多个平衡点； 平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当 的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）；
(4)
稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对 多平衡点问题需针对各状态讨论。
二、李雅普诺夫意义下的稳定性 f ( x, t )平衡状态xe的H邻域为 定义4-2：系统x x xe H , H 0, 为2范数(欧几里德范数 )





1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性 定理采用了状态向量来描述，适用于单变量， 线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。
应用：自适应，最优控制，非线性控制等。

主要内容：

李氏第一法（间接法）：根据线性系统特征值 或极点来判别稳定性。若是非线性系统，需先 线性化。 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构 造Lyapunov标量函数。
A非奇异： Axe 0 xe 0
解唯一,平衡 点只有一个
xe A奇异： Axe 0 有无穷多个
b. 非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有一个或多个 xe x
例：
1 x1 x 2 x1 x2 x x
3 2
令

1 0 x
Xe
说明：
(1) 若系统渐近稳定，则对于x’=Ax而言，A特征值 应均有负实部。
x(t ) e x0 e A B( )u( )d
At 0 t
(2) 若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个 状态空间中只有一个平衡点。
(3) 除非S ( )对应于整个状态平面 , 否则这些定义只能应用 于平衡状态的邻域。
即 x xe
x1 xe1 x2 xe2
2
2
xn xen
2
类似地, 定义球域S ( ), S ( ). 在H邻域内 , 对任意0 H , 均有：
(1) 如果对应于每一个 S ( ), 存在一个S ( ), 使得当t 时, 始于S ( )的轨迹不脱离 S ( ),则平衡状态xe 0称为在 Lyapunov 意义下是稳定的。对于 , 有 ( , t0 )即与 , t0 有关。如果与t0无关, 则此平衡状态称为一致 稳定的 平衡状态 — —又称一致李氏稳定。
几何意义：
当t t0时, 系统受扰动, 平衡状态受破坏 , 产生对应初始状态 x0 , 当t t0后, 运动状态x(t )会发生变化。 若无论多么小球域 S ( ),总存在一个球域 S ( ),当 x0 S ( )时, x(t )轨线不会超出S ( ),则平衡点xe为 Lyapunov 意义下稳定。
0
2 0 x
0 xe3 1

0 xe2 1
xe 1 0
xe1 , xe2 , xe3 在状态空间中是孤立的 , 称其为孤立平衡点
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的 邻域内不存在别的平衡状态。 说明：
(1) (2) (3)

第一节
李雅普诺夫稳定性定义
一、稳定性基本概念
1. 自治系统：输入为0的系统 2. 初态：
=Ax+Bu(u=0) x
=f(x,t)的解为 x(t; x0 , t0 ) x

x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3. 平衡状态：
e f ( xe , t ) 0 xe 系统的平衡状态 x n Ax xR a. 线性系统 x
实际上，工程中的李 氏稳定是临界不稳定
S ( ) S ( )
Xe
B 无摩擦，
等幅振荡
A
定义4-3(渐近稳定)：
若系统不仅是Laypunov 意义下的稳定 , 且有 lim x(t ) xe
t
则称xe是渐近稳定的。若 ( , t0 ) ( )与t0无关, 则称 一致渐近稳定。
第四章
动态系统的稳定性分析
1 稳定性基本概念
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
3 李雅普诺夫第一法
4 李雅普诺夫第二法
5 线性定常系统渐近稳定性判别法
教学要求：
1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定 性概念 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析方法
重点内容：
• 李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造 • 线性定常系统非线性系统稳定性定理与判别 • 李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别
(4) 对于图(d),轨迹离开S ( ),说明平衡状态不稳定 , 却不说明 轨迹趋于无穷远处。轨 迹还可能趋于S ( )处的某一极限环。 (线性定常系统不稳定 , 则不稳定平衡点附近出 发的轨迹将 趋于无穷远; 但对非线性系统 , 这一结论不成立 )
(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线 性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。

研究的目的和意义：稳定性是自动控制系统正 常工作的必要条件，是一个重要特征。
要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态 被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来 的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状 态方程解的收敛性，而与输入作用u无关。 经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈 魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一、二阶非线 性系统)
第二节
李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 , ,, 1 2 n 或者说系统极点来判断系统稳定性。 对非线性系统，首先要在平衡点附近线性化，得 到一近似的线性化方程，然后再进行判断。
几何意义 S ( ) S ( )
Xe
物理意义
球受外力离开 平衡点,存在摩 擦力时,小球最 终静止在A点。
A
定义4-4(大范围渐近稳定)：
若对任意x0都有 lim x(t ) xe , 则称xe是大范围渐近稳定。
t
又称全局稳定。
S ( )
S ( )
Xe
必要条件：只 有一个平衡点。
定义4-5(不稳定)： 对任意给定实数 0, 不论多么小, 至少有一个x0 ,当 x0 xe , 则有 x(t ) xe , 则称xe不稳定。