第四章 可测函数
§1 可测函数及其性质 §2 叶果洛夫定理 §3 可测函数的构造 §4 依测度收敛
§1 可测函数及其性质
要点：可测函数是利用勒贝格可测集来刻画的，勒贝格可 测函数是勒贝格积分的基本对象。
记号：一个定义在 E Rn 上的实函数 f (x) 确定了E的一组
子集
E f a x | xE, f (x) a
不是一个函数值，而是一个集合
可测函数等价定义 设f (x)是定义在可测集E上的实函数，对于任何有限实数a,b (a b)
f (x) 在E上可测 （1）E f a 都可测。
（2） E f a 都可测。 （3） E f a 都可测。 （4）Ea f b 都可测。
推论：设 f (x)在E上可测，则 E f a 总可测，不论 a 是有 限实数或 即：可测集E上的常值函数是可测函数。
函数 n 的极限函数，其中 1(x) 2(x)
注：1°简单函数仅取有限个实数值，且每个值是在一个可测子集上取的。 2°简单函数列的极限函数不一定是简单函数，甚至某些点处极限函数
可能为 ，然而简单函数一定是可测函数。
5、几乎处处成立
设 是一个与集合E的点 x 有关的命题，如果存在E的子集 M，适合 mM 0 ，使得 在E\M上恒成立，即E\E[ 成 立]=零测度集，则我们称 在E上几乎处处成立， 或说
n
fn
(x)
G(x)
lim n
fn (x)
也在E上可测，特别当
F ( x)
lim n
fn(x) 存在时，
它也在可测。
4、简单函数及其性质
（1）定义：设f (x) 的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1,..., Es 即 E Ei ，使 f (x)在每个 Ei上都等于某常数 c ，则称 f (x)
这里 a 取遍一切有限实数，反之，f (x) 本身也由E的这组 子集而完全确定。
类似地，有 E f a, E f a, E f a, Ea f b
1、可测函数定义
设 f (x) 是定义在可测集E Rn的实函数，如果对于任何有限实
数a ，E f a都是可测集，则称 f (x)为定义在E上的可测函数。
fn f a.e.于E
一致收敛：若对于 0，存在自然数N，对 n, m N 及 x E
都有 fn(x) fm(x) ，则称函数列 fn 在E上一致收定理）
设 mE ， fn是E上可测函数列，f 是E上几乎处处有限 的函数， fn在E上几乎处处收敛于 f ，则对任意 0，存 在子集 E E，使 fn在 E 上一致收敛，且 m(E \ E )
例题 1：区间[a,b]上的连续函数与单调函数都是是可测函数。 例题 2：勒贝格零测集上所定义的函数必是可测函数。
问题：连续函数是可测函数吗？ 2、点集上的连续函数定义
定义在 E Rn上的实函数 f (x)，如果 y0 f (x0 )有限，而且对 于 y0 的任一邻域V，存在 x0 的某邻域U，使得f U E V，即 只要 x E且 x U时，便有 f (x) V，则 f (x)在 x0 E 连续。
1 f (x), f (x) g(x),(g(x) 0 集中在零测集上）可测集。
可 测
定理 5：设 fn(x) 是E上一列（或有限个）可测函数，则
函 数
(x) inf n
fn (x)与
(x) sup fn (x) 都在E上可测。
n
列的极限
定理
6：设
fn
(x)
是E上一列可测函数，则
F
(x)
lim
数，则g也是E上的可测函数。
§2 叶果洛夫定理
1、收敛、几乎处处收敛、一致收敛
设 fn是定义于E上的函数列
收敛：若存在E上的函数 f
，对于 x E
，lim n
fn (x)
f (x),
则称函数列 fn在E上收敛， f 为 fn 的极限函数。
几乎处处收敛：若存在 E1 E ，mE1 0 ， fn在 E \ E1 上收 敛于 f ，则称 fn在E上几乎处处收敛于 f ，记为
如果 f (x) 在E中每一点都连续，则称f (x) 在E上连续。
注：这个定义并不要求E是可测集；当E是某个区间时，它与数学分 析中连续的概念相一致。
定理 2：可测集 E Rn 上的连续函数是可测函数。
3、可测函数基本性质
定理 3： （1）设 f (x) 是可测集E上的可测函数，而E1 E 为E的可测子集，则 f (x)看作定义在 E1 上的函数时，它是 E1 上的可测函数； （2）设 f (x)定义在有限个可测集 Ei (i 1, 2,..., s) 的并集 E s Ei
（3）著名的勒贝格微分定理：若 f (x) 是[a,b]上的单调函数，则 f (x) 在[a,b]上几乎处处可导。 （4）[0,1]上的狄利克雷函数 D(x) 0 a.e.于 [0,1]
性质：
（1）1 a.e.于E
且 2
a.e.于E
，则 1
或 2
a.e.于E
，
且
1
2
a.e.于E
.
（2）f和g是定义在可测集E上几乎处处相等的函数，如果f是E的可测函
i 1
上，且 f (x)在每个 Ei 上都可测，则 f (x)在E上也可测。
注：并不是可测集的所有子集都是可测的。
引理 ：设 f (x)与g(x) 为 E上的可测函数，则 E[ f g] 与E[ f g] 都是可测集。 定理 4：设f (x) 与 g(x) 为在E上可测，则函数 f (x) g(x), | f (x) |,
i 1
为简单函数。 结论：任何简单函数都是可测的。
例如：在区间[0，1]上的狄利克雷函数是可测的非连续函数。
（2）简单函数与可测函数的关系
定理 7：设 f (x)在E上可测，则 f (x)总可以表示成一列简单函
数 n (x)的极限函数
f
(
x)
lim n
n
(
x)
，而且还可办到
1(x) 2(x)
（3）可得可测函数等价定义 函数f (x) 在E上可测的充要条件是 f (x) 总可以表示成一列简单
a.e.于E成立。
即：如果一个命题S在集E上除了某个零测度子集外处处成立， 是命题不成立的点总包含在某个零测集当中，则说命题S在E上
几乎处处成立。
例题 3 （1）f (x) 与 g(x) 在E上几乎处处相等，指：mM[ f g] 0
（2） f (x) 在E上几乎处处有限，指：mM[| f | ] 0