第二章 Volterra 方程的求解 §2.1 第二类Volterra 方程求解 积分方程是近代数学的一个重要分支，它与微分方程、泛函分析、计算数学和有机分析等有着紧密的联系.同时，它也是解决力学、数学物理和工程技术等问题的一种重要工具.本章首先介绍积分方程的基本概念，其次利用压缩映照原理讨论积分方程的可解性及逐次逼近方法，并扼要介绍Fredholm 定理，讨论一些非线性积分方程的解法.第二类Volterra 方程一般形式为：()(,)()()xax K x t t dt f x ϕλϕ=+⎰ ,(2.1.1)A ． 化为常微分方程求解 例2.1.10().xx te t dt x ϕ-=⎰ 解 由0()xxtee t dt x ϕ-=⎰，得0()xt xe t dt xe ϕ--=⎰,求导得(),x x x e x e xe ϕ---=- 即()1x x ϕ=-.例2.1.2 0()().xx x t dt e ϕϕ=+⎰解 求导得()().x x x e ϕϕ'=+ 定解条件00(0)() 1.t dt e ϕϕ=+=⎰化为微分方程,(0) 1.x e ϕϕϕ'⎧=+⎨=⎩ 容易得到()(1)xx x e ϕ=+.定理2.1.1 如果第二类Volterra 方程(2.1.1)的核(,)K x t 为()x t -的(1)n -次多项式01(,)()()()K x t a x a x x t =+-22()()2!a x x t +-11()()(1)!n n a x x t n --++--, 令11()()()(1)!x n ay x x t t dt n ϕ-=--⎰，21()()()(2)!x n ay x x t t dt n ϕ-'=--⎰， ， ()()()n y x x ϕ=.则(2.1.1)可化为常微分方程求解. ()(1)01[]().n n n y a y a y f x λ---++= 例2.1.3()434()()xxx e x x t t dt ϕϕ=+---⎰.解 0()434()()x xxx ex x t dt t t dt ϕϕϕ=+--+⎰⎰，()43()()()xxx e t dt x x x x ϕϕϕϕ'=+--+⎰()43()xxx e t dt ϕϕ'=+-⎰,()4()xx e x ϕϕ''=-,()4(),(0)0,(0)7.xx e x ϕϕϕϕ''⎧=-⎨'==⎩ ()22cos 5sin xx e x x ϕ⇒=-+. B.迭代法首先,一般地,如12,ϕϕ为方程()(,)()bax K x t t dt ϕλϕ=⎰, (2.1.2)的解,则它们的任意线性组合也是方程之解.显然()0x ϕ≡为上面方程之解,称之为平凡解,如()x ϕ为上面方程之解,且()x ϕ不恒为零,称之为非零解或非平凡解.定义 2.1.1 凡使齐次方程(2.1.2)具有非平凡解的那些λ值,称为特征值,而对应于特征值的那些解称为特征函数.下面研究方程(2.1.1)之解,有定理定理 2.1.2 设核(,)K x t 在区域a t x b ≤≤≤上连续,()f x 在[,]a b 上连续,则方程(2.1.1)有唯一解()x ϕ,且()x ϕ可表示为212()()()()x f x x x ϕλϕλϕ=++()nn x λϕ+++， (2.1.3) 其中,1()(,)(),,xa x K x t f t dt ϕ=⎰1()(,)()xn n ax K x t t dt ϕϕ-=⎰，R λ∀∈，解的展开级数(2.1.3)一致收敛. 推论 2.1.3 Volterra 方程()(,)()bax K x t t dt ϕλϕ=⎰没有特征值。

例 0()()().xx x t x t dt ϕϕ=+-⎰解 (,),(), 1.K x t t x f x x λ=-== 0()()x f x x ϕ⇒==，33310()(),3232xx x xx t x tdt ϕ=-=-=-⨯⎰320()()()32xt x t x dt ϕ=--⨯⎰4301()32x t t x dt =--⨯⎰51,5432x =⋅⋅⋅ ，21()(1)(21)!n nn x x n ϕ+=-⋅+， 故可得35()sin .3!5!x xx x x ϕ=-++=下面给出迭代解的其他形式.0()()x f x ϕ=，10()(,)()xa x K x t x dt ϕϕ=⎰(,)(),xa K x t f t dt =⎰21()(,)()xax K x u u duϕϕ=⎰(,)[(,)()]x ua aK x u K x t f t dt du =⎰⎰ [(,)(,)]()xxat K x u K u t du f t dt =⎰⎰.记1(,)(,),K x t K x t =21(,)(,)(,).xtK x t K x u K u t du =⎰22()(,)(),,xa x K x t f t dt ϕ⇒=⎰1(,)(,)(,).x n n t K x t K x u K u t du -=⎰()(,)()xn n ax K x t f t dt ϕ⇒=⎰，01()()(,)()xnn an x x K x t f t dtϕϕλ∞=⇒=+∑⎰101()(,)()x n n an x K x t f t dt ϕλλ∞-==+∑⎰0()(,,)()xax R x t f t dt ϕλλ=+⎰，11(,,)(,)n n n R x t K x t λλ∞-==∑，称(,)n K x t 为n 次迭核,为(,,)R x t λ解核.例 0()()xxx e t dt ϕϕ=+⎰，解1(,)(,)1,1,K x t K x t λ===21111(,)(,)(,)xt K x t K x t K t t dt =⎰1(),xtdt x t ==-⎰31211(,)(,)(,)xtK x t K x t K t t dt =⎰211()(),2xtx t t t dt -=-=⎰1()(,)(1)!n n x t K x t n --=-， 可得1()1()(,,1)(1)!n x t n x t R x t e n -∞-=-==-∑，所以()0().xxx t t x xx e ee dt e xe ϕ-=+⋅=+⎰例 222()().xx x t x e et dt ϕϕ-=+⎰解 221(,),x t K x t e-=21(,)(,)(,)x tK x t K x K t d μμμ=⎰ 222222(),xx t x t t e ed ex t μμμ---=⋅=⋅-⎰221()(,).(1)!n x tn x t K x t en ---=⋅- 可得1(,,1)n n R x t K ∞==∑2211()(1)!n x tn x t en -∞-=-=⋅-∑22()..x t x t ee--=所以22222()().xx x t x t t x xx e ee e dt eϕ--+=+⋅⋅=⎰C ：卷积型Volterra 方程()()()()xx f x K x t t dt ϕϕ=+-⎰，(2.1.3)对于此类特殊形式的方程,我们用Laplace 变换求解.设()f x 连续,具有指数阶,即0,0,|()|xM f x Me μμ∃>>≤.定义：()()().pxL f f x edx F p ∞-==⎰其中,p a bi =+实数,a b μ>为实数.称()F p 为函数f 的Laplace 变换. L 变换有与F 变换类似的性质，这是两种常用的积分变换.称下面积分为函数12f f 和的卷积：12120()()()().xf f x f t f x t dt *=-⎰定理2.1.4(卷积定理)1212()()()L f f L f L f *=⋅, (2.1.4) 对第二类Volterra 方程(2.1.3)()()()().xx f x K x t t dt ϕϕ=+-⎰两边用Laplace 变换,利用卷积定理得,()()()(),L L f L K L ϕϕ=+⋅ 即()()1()L f L L K ϕ=-, (2.1.5)对(2.1.5)求Laplace 逆变换,得1()()()1()L f x L L K ϕ-=-, (2.1.6)(2.1.6)即为方程(2.1.3)的解. 例 0()sin 2cos()().xx x x t t dt ϕϕ=+-⎰解201(sin )sin 1pxL x x e dx p ∞-=⋅=+⎰,202(cos )cos 1pxp L x x e dx p ∞-=⋅=+⎰,推出(sin )()1(cos )L x L L x ϕ=-2211211p p p +=-+ 21(1)p =-, 查Laplace 逆变换表,容易得出21(1)p -逆变换为xxe .所以方程解为()xx x e ϕ=⋅ 例 0()1sin()().xx x t t dt ϕϕ=+-⎰解 01(1),pxL e dx p∞-==⎰21(sin ),1L x p =+所以(1)()1(sin )L L L x ϕ=-21111p p =-+311p p=+, 所以1311()()x L p p ϕ-=+11311()()L L p p--=+21.2x =+§2.2 第一类Volterra 方程 定理2.2.1 对第一类Volterra 方程(,)()()xaK x t t dt f x ϕ=⎰, （2.2.1）若(,),()K x t f x 可微，(,)0,K x x ≠(),a x b ≤≤且(,)(,)K x t K x x x∂∂与分别在[,]a b 及三角域a t x b ≤≤≤上连续，()0f a =，则（2.2.1）与第二类Volterra 方程(,)()()(),(,)(,)x xa K x t f x x t dt K x x K x x ϕϕ''+=⎰（2.2.2）等价.证明 注意含参变量积分求导公式()()()()((,))(,)b x b x x a x a x f x t dt f x t dt '=⎰⎰(,())()(,())(),f x b x b x f x a x a x ''+-（2.2.3）对（2.2.1）两边求导⇒(,)()(,)()(),xx aK x x x K x t t dt f x ϕϕ'+=⎰因为(,)0K x x ≠，同除之得(,)()()(),(,)(,)x xa K x t f x x t dt K x x K x x ϕϕ'+=⎰此外，容易看出（2.2.1）有解，则()0,f a =这是必要条件，也称为相容性条件. 例 2303[14()()]().2x t x t x t dt x ϕ+-+-=⎰ 解 两边求导2()[43()]()3xx x t t dt x ϕϕ⇒---=⎰,这是一个第二类卷积型Volterra 方程.用Laplace 变换2[][43][]3[]L L x L L x ϕϕ--⋅=，得2[]([4]3[])[]3[],L L L x L L x ϕϕ--⋅=234618[]()[]L L p p p ϕϕ⇒--=，218[](46)L p p p ϕ=-+233446p p p p -+=+-+336p p -⋅=--作逆变换2233cos sin .x xe ϕ⇒=--例 20sin(())(),0.xa x t t dt x a ϕ-=≠⎰解 两边求导2cos[()](),xx a a x t t dt ϕ⇒=-⎰再求导22()sin[()]()xa x a a x t t dtϕϕ⇒=⋅-⋅-⎰222(),a t a x ϕ⇒=⋅-221()(2)x a x aϕ⇒=+.例 0sin()() 1.xx x t t dt e ϕ-=-⎰解 求导得，0cos()().xxx t t dt e ϕ-=⎰注意：这是一个第一类Volterra 方程，00.e ≠所以无解.习题21、用迭代法解方程 ①20()1().xx x x t dt ϕϕ=-+⎰②0()()().xx x x t t dt ϕϕ=--⎰ ③0()1().xx t dt ϕϕ=+⎰ ④0()1()().x x x t t dt ϕϕ=+-⎰ ⑤0()1().xx x t dt ϕϕ=+⎰⑥222011()1().21xxx x t dt tϕϕ+=+-+⎰ 2、求下列核的解核①(,) 1.K x t = ②(,).K x t t = ③(,).K x t xt =④(,).x tK x t e -= ⑤(,)2.K x t x = ⑥(,)2().K x t x t =--3、设Volterra 方程之核仅依赖于变量之差，即()(,)()().xx K x t t dt f x ϕϕ=+⎰证明 它的迭核与解核也仅依赖于变量之差.x t -4、如111()(,),()0.()K x K x t K t K t =≠试证：解核为()11()(,,)()x t K x R x t e K t λλ-=.5、解方程①222011()().11xtx t dt xx ϕϕ+=+++⎰ ②222()2().xx xx t x eet dt ϕϕ+-=+⎰③0cos()().x xx t t dt e ϕ-⋅=⎰ ④2220(2)().xx t t dt x ϕ+-=⎰⑤0()().xx x tx e e t dt ϕϕ-=+⎰⑥0()sin .xx t e t dt x ϕ-=⎰⑦0()4()().xx t x t dt x ϕϕ=-+⎰例1sin xtdx dt tππ⎰⎰00sin sin ()()x x t t x dt x dt dxt t ππππ'=-⎰⎰⎰00sin ()sin x x dx xdx xππ=--=⎰⎰0(cos ) 2.x π=-=例21120sin y y dy x dx x ⎰⎰12201()sin ()y t xyy ydy t dt t t ==⋅-⎰⎰ 134011(sin )y y tdt dy t=-⎰⎰1440111()(sin )4y y tdt dy t '=-⎰⎰14140441011111(sin )()(sin )44y y y tdt y tdt dyt t '=-+⎰⎰⎰ 114400111sin sin 44y ydy ydy y ==⎰⎰ 1011cos (1cos1)44y =-=-.。