又如：
某小学为了更有效地训练中年级学生掌握有关 计算机操作的基本技能，特对两种训练方法的有效 性进行了比较研究。在四年级学生中，根据智力水 平、兴趣、数学和语文成绩，以及家庭中有无学习 计算机的机会等有关因素都基本相同的条件下，将 学生匹配成34对，然后把每对学生拆开，随机地分 配到不同的训练组中，经训练后，两组学生考核的 分数如下，问两种不同的训练方法是否确实造成学 习效果上的显著性差异？
n表示样本容量 表示第一个变量样本方差 表示第二个变量样本方差
对两个总体平均数差异的显著性检验涉及 到两个总体，要考虑到如下五个因素：
样本是相关的还是独立的； 总体是正态分布还是非正态分布； 总体方差是已知还是未知； 总体方差是否齐性； 样本的大小。
第二节
相关样本平均数差异的显著性检验
定义：两个样本内个体之间存在着一一对应的
（一）提出假设
H0 : D 0, H1 : D 0
（二）选择检验统计量并计算其值。
在小样本的情况
D D D 2 ( D)2 / n n( n 1)
t
在大样本的情况
D D D 2 ( D) 2 / n n( n 1)
Z
D表示样本的差数平均数或两个样本平均数之差
D 1 -1 -1 1 4 2 3 0 2 4 -1 2 2 3 4 0 3 76
解：1.提出假设
H0 : D 0, H1 : D 0
2．计算检验的统计量
D 2.2353 0 Z 6.031 D ( D) / n 324 76 34 n(n 1) 34(34 1)
D1 X 11 X 21
（第一次抽样） （第二次抽样） （第三次抽样）
D 2 X 12 X 22
D 3 X 13 X 23
数理统计学的研究表明，假若
1 2
那么两个样本平均数之差的概率分布就是 以0为中心的正态分布：
概 率
0 D1 临 界 值
保留区间0.95
D
临 界 值
学生 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17
X1 86 83 80 75 68 60 56 48 76 77 70 65 62 58 73 90 82
X2 88 80 76 68 65 54 50 43 72 78 68 64 60 56 70 88 81 总和第七章平均数差异的 显著性检验
回顾
样本平均数与总体平均数之间差异的假设 检验又叫做总体平均数的显著性检验。如果某 个样本平均数与总体平均数的差异达到了显著 性水平就可以推翻零假设，认为这个样本不是 来自该总体，而是来自其他总体；如果这个样 本平均数与总体平均数的差异未达到显著性水 平，则要接受零假设，这时就得承认这个样本 来自该总体。
3．确定检验形式
右侧检验
4．统计决断 Z=2.69>2.33，P<0.01 所以，要拒绝零假设，接受备择假设，由 此得出结论：高年级思想品德教育的效果极显 著地优于中年级。
二、独立小样本平均数差异的显著性检验
两个样本容量
n1
n2
均小于30，或其中一个小于30的独立样本 称为独立小样本。
独立小样本平均数差异的显著性检验方法：
2 2
S x1 - x 2
（n1 - 1 ）S （n2 - 1 ）S n1 n2 2
2 X1
2 X2
n1 n2 n1n2
t
X1 X 2 ( X 1 X 1 ) 2 ( X 2 X 2 ) 2 n1 n2 n1 n2 2 n1n2
X1 X 2
D
SD
N
2 S12 S2 2rS1S2 n
（相关样本）
D

2 1
2 2
n
2 1 2 2
（独立总体，r=0）
S S SD n 1
（独立样本，r=0）
12 表示第一个变量总体方差
22 表示第二个变量总体方差
r
S12 S
2 2
表示第一个与第二个变量的相关系数
要实际地判断样本平均数的差异是否落入 了零假设的拒绝区域里，需要以该抽样分布的 标准差，即平均数之差的标准误为依据。
二、平均数之差的标准误
两个样本平均数差的抽样误差称为平均数之差的 标准误，用一切可能的样本平均数之差在抽样分 布上的标准差来表示。
2 12 2 - 2r 1 2 （相关总体）
关系，这两个样本称为相关样本。
（1）用同一测验对同一组被试在试验前后进行 两次测验，所获得的两组测验结果是相关样本。
（2）根据某些条件基本相同的原则，把被试一 一匹配成对，然后将每对被试随机地分入实验组和 对照组，对两组被试施行不同的实验处理之后，用 同一测验所获得的测验结果，也是相关样本。
相关样本平均数差异的显著性检验方 法和步骤：
D2
289 4 121 169 324 225 40 1 81 4
总和
795
710
85
1267
解：1.提出假设
H0 : D 0, H1 : D 0
2．计算检验的统计量
t D D 2 (D) 2 / n n(n 1)
85 10 3.456 2 1267 85 / 10 10(10 1)
一、独立大样本平均数差异的显著性检验
两个样本容量
n1
n2
都大于30的独立样本称为独立大样本。 独立大样本平均数差异的显著性检验所用 的公式是：
S x1 - x 2
S
2 X1
n1

S
2 X2
n2
如
假设某小学从某学期刚开学就在中、高年 级各班利用每周班会时间进行思想品德教育， 学期结束时从中、高年级各抽取两个班进行道 德行为测试，结果如下表所示，问高年级思想 品德教育的效果是否优于中年级？
3．确定检验形式 双侧检验 4．统计决断 因为是t检验，所以要根据自由度df=n-1 =10-1=9查t值表(即附表2)，找双侧检验的临 界值。
t (9)0.05 2.262
t 3.456 * * 3.250
t (9)0.01 3.250
p<0.01，所以，在0.01的显著性水平上拒 绝零假设，接受备择假设。即可得出小学分散 识字教学法与集中识字教学法有极其显著的差 异的结论。
1、方差齐性时
方法和步骤： 如果两个独立样本的总体方差未知，经方 差齐性检验表明两个总体方差相等，则要用汇 合方差来计算标准误，
公式为：
2 2 ( X X ) ( X X ) 2 1 1 2 2 S合 (n1 1) (n2 1)
S x1 - x 2
( X 1 X 1 ) ( X 2 X 2 ) n1 n2 n1 n2 2 n1n2
性别
男 女
人数
25 28
平均数
92.2 95.5
样本标准差
13.23 12.46
解：1.提出假设
H 0 : 1 2
H 1 : 1 2
2．计算检验的统计量
t X1 X 2
2 2 （n1 - 1 ）S X （ n 1 ） S 1 2 X 2 n1 n2 n1 n2 2 n1n2
标准差=15，已知两次测验结果的相关系数r=0.72， 问能否说随着年龄的增长与一年的教育，儿童智商 有了显著提高？
解：1.提出假设
H0 : D 0, H1 : D 0
2．计算检验的统计量
t X1 X 2
2 2 SX S 2rS X 1 S X 2 X2 1

n 1 99 101 14 15 2 0.72 14 15 28 1
表7.1 10对学生在两种识字教学法中的测验分数和差数
组别
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
实验组
X1
93 72 91 65 81 77 89 84 73 70
对照组 X2
76 74 80 52 63 62 82 85 64 72
差数值
D
17 -2 11 13 13 15 7 -1 9 -2
D 2 2 2
3．确定检验形式
双侧检验
4．统计决断
Z=6.031**>2.58，P<0.01
所以，要在0.01的显著性水平上拒绝零假
设，接受备择假设。
二、同一组对象的情况
例子：某小学在新生入学时对28名儿童进行了
韦氏智力测验，结果平均智商=99，标准差=14，
一年后再对这些被试施测，结果平均智商=101，
2 2 （n1 - 1 ）S X （ n 2 ） S n1 n2 1 2 X2 n1 n2 2 n1n2
t
如：
有人在某小学的低年级做了一项英语教学 实验，在实验的后期，分别从男女学生中抽取 一个样本进行统一的英语水平测试，结果如下 表所示。问在这项教学实验中男女生英语测验 成绩有无显著性差异？（假定方差齐性）
年级 高 中 人数 90 100 平均数 80.50 76.00 标准差 11 12
解：1.提出假设
H 0 : 1 2
X1 X 2 S
2 X1
H 1 : 1 2
2．计算检验的统计量
Z
n1
2

S
2 X2
n2
2
80.50 76 11 12 90 100
2.69
2 2
0.954
3．确定检验形式 左侧检验 4．统计决断 当df=27时，
t( 27 )0.05 1.703
t=0.954<1.703，P>0.05 所以，要保留零假设，即一年后儿童的智 商没有显著地提高。