第二章 随机变量及其概率分布 考试模拟题(共90分)一．选择题(每题2分共20分)1．F(X)是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是（ B ）A.≤0F(x )1≤B.F(x )=P{X=x }C.F(x )=P{X x ≤}D.F(∞+)=1, F(∞-)=0 解析： A,C,D 都是对于分布函数的正确结论，请记住正确结论！B 是错误的。

2．设随机变量X 的分布函数律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( C )A.0.3B.0.5C.0.6D.0.4解析：由分布函数定义F(5)=P{X ≤5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3．下列函数可以作为随机变量分布函数的是（ D ）4x 01≤≤x 2x 10<≤x A.F(x)= B.F(x)=1 其它2 其它 -1 x<0 0 x<0 C.F(x)= 2x 10<≤x D.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.5解析：由分布函数F(x)性质：01)(≤≤x F ，A,B,C 都不满足这个性质，选D4x31<<-x 4．设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2<x<2}=( B ) 0, 其它A. 0B.83C. 43D.85解析：P{-2<x<2}=⎰-22)(dx x f =dx xdx ⎰⎰---+122140=2128-x =83，选B 5. 设随机变量X 的取值范围是(-1,1),以下函数可作为X 的概率密度的是（C ）A.f(x)=.;11,0,其它<<-⎩⎨⎧x xB.f(x)=.;11,,02其它<<-⎩⎨⎧x x C.f(x)=.;11,0,21其它<<-⎪⎩⎪⎨⎧xD.f(x)=.;11,0,2其它<<-⎩⎨⎧x解析：根据密度函数性质：A.有f(x)0≤的情况，错； B.D.不符合⎰+-=111)(dx x f 错；C. 12121|21211111=+==-+-⎰x dx 选C 6.设随机变量X~N(1，4)，5.0)0(,8413.0)1(=Φ=Φ，则事件{13X ≤≤}的概率为（D ） A.0.1385 B.0.2413 C.0.2934 D.0.3413解：P {13X ≤≤}=F(3)-F(1)=3413.05.08413.0)0()1()211()213=-=-=---φφφφ（7．已知随机变量X 的分布函数为（ A ）F(x)= ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<313132102100x x x x ，则P }{1X ==A ．61 B ．21 C ．32D ．1解析：把分布函数8．设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<其它021210x xx x，则P (0.2<X<1.2)=（A ） A.0.5 B.0.6 C.0.66 D.0.7解析：P{0.2<X<1.2}=⎰=2.12.0)(dx x f ⎰+.12.0xdx ⎰=2.11)-2dx x （2.11212.02|)212(|21x x x -+ =5.021244.1214.204.021-21=+-⨯-+⨯ 选A 9．已知连续型随机变量X 服从区间[a ，b ]上的均匀分布，则概率=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<32b a X P ( B )A ．0B ．31C ．32D ．1解析：=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<32b a X P =⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<≤32b a X a P a b ab a --+32=a b ab --3=31 ， 选B 注意：=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<32b a X P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<≤32b a X a P ，题目故意隐蔽了X 的下限a 10、设随机变量X 在区间[2，6]上服从均匀分布，则P{2<x<4}=( C ) A.P{5<x<7} B.p{1<x<3} C.P{3<x<5} D.P{4.5<x<6.5} 解析：P{2<x<4}=2624--=0.5, 而C.P{3<x<5}=2635--=0.5,其余都不是0.5，选C 注意:X 的取值范围是[2，6]，A.B.D.都超出了范围，计算时要注意，如A.P{5<x<7}= P{5<x<6}=412656=--， 很容易犯的错：P{5<x<7}=212657=-- 二．填空题(每题2分共20分)1．设连续型随机变量X 的分布函数为如下F(x), 则当5.00<≤x 时，X 的概率密度)(x f 为（ ）0 x<0 F(x)= 2x, 5.00<≤x1 x ≥0.5解析： f(x)=)(x F '：( 2x )'=2 ； （ 0 )'=0 ；（1 )'=0所以：⎩⎨⎧<≤=其它05.00 2)(x x f2．设随机变量X 的分布为P{X=k}=10k，k=0,1，2,3,4,则P{0.5<X ≤2}=(3/10 )解析：根据所给分布律：P{0.5<X ≤2}=P{X=1}+P{X=2}=1/10+2/10=3/10 3．设随机变量X ～N(2,9)，已知标准正态分布函数值=Φ)1(0.8413，为使P{X<a}<0.8413,则常数a<( 5 ) 解析： P{X<a}=F(a)=5132)1()32(<⇒<-⇒Φ<-Φa a a 4．某人掷五次骰子，则在五次中得到点为6的次数X 的分布率为P{X=i}=( ii i C -55)65()61( ) i=0,1,2,3,4,5解析：二项分布B(5,1/6)：P{X=i}=ii i C -55)65()61(5.设随机变量X 服从区间[0，5]上的均匀分布，则P {}3≤X = __3/5__.解析：P {}=≤3X P {}53050330=--=≤≤X此题主要注意X 的取值范围:0≥X 6．设随机变量X 服从区间[]10,0上的均匀分布，则P （X>4）=_3/5_．P{X>4}= P{}104≤<X =530-104-10= 此题主要注意X 的取值范围:X 10≤ 7．在[]T ,0内通过某交通路口的汽车数X 服从泊松分布，且已知 P{X=4}=3P{X=3}，则在[]T ,0内至少有一辆汽车通过的概率为12-1-e ．解析：泊松分布：P{X=K}=，根据P{X=4}=3P{X=3}⇒λλλλ--⨯=e e !33434！⇒!3134⨯=！λ⇒12=λ “至少有一辆汽车通过”用它的逆事件“没有一辆通过”的概率做方便：P{至少有一辆汽车通过}=1-P{X=0}=1-12120-1012--=e e ！8.已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<3x 13x 1321x 0210x 0 则P{2<X ≤4}=1/3_。

解析：P{2<X ≤4}=F(4)-F(2)=1-2/3=1/39.已知随机变量X 的概率密度为f(x)=ce -|x|，-∞<x<+∞，则c=1/2。

解析：根据密度函数性质： ⎰+∞∞-=-||dx Cex ⎰∞+0-dx Ce x⎰+∞-=0dx Ce x +∞-∞--00||x x CeCe =C-0-0+C=12/112=⇒=⇒C C 10．设随机变量X 的概率分布为F (x )为其分布函数，则F (3)=53/56．解析：F (3)=P{}3≤X =1/4+1/8+4/7=53/56 （用1-3/56计算方便）注意：本题（1）理解分布函数意义}{)(x X P x F ≤=(2)对于离散型求概率时一定要在乎x X ≤与x X <的区别，对于本题如果没有“等于”，4/7就不算在内了。

而连续型可以不在乎有没有“等于”，不会影响求概率结果。

三．计算题。

1、设分别有标号1～5的五张卡片，每次任取一张，取后不放回，X 为直至取到大于等于3的卡片为止所需要的次数，求X 分布率。

（6分）解析： P{X=1}=3/5;P{X=2}=(2/5)(3/4)=3/10;P{X=3}=(2/5)(1/4)(3/3)=1/10 X 1 2 3 P3/53/101/10注意：概率之和应该为1，否则肯定是错了！2、设离散型随机变量X 的分布律为下表 （8分）X 0 1 2 P0.10.30.6求：（1）X 的分布函数F(X)(2)试用所求得分布函数求P{0.5<X }3≤解析： （1） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=2124.01 1.000)(x x x x x F（2） P{0.5<X }3≤=F(3)-F(0.5)=1-0.1=0.93．随机变量X 的密度函数为 （8分） cx+1, 02<≤x f(x)=0, 其它 求：（1）常数c(2)P{1<x<3}（1）dx Cx )1(20+⎰=（)22x cx +2=2c+2=15.0-=⇒c（2）P{1<x<3}=2123121|25.0()5.01()(x x dx x dx x f -=-=⎰⎰=2-1-1+0.25=0.254．设随机变量X 的概率密度为=)(x f X 分）（10 1 0112⎪⎩⎪⎨⎧<≥x x x （1）求X 分布函数)(x F X（2）求P{}331≤<X（3）令Y=3X,求Y 概率密度)(y f Y（1）时 1≥x ：11|11)(112+-=-==⎰x t dt tx F x xX ， 时 1<x 0 所以：⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=10111-)(x x x x F X（2）=≤<}331{x P 32131|1131312=+-=-=⎰x dx x(注意积分下限从1开始，而不是1/3)或直接利用（1）的结果=≤<}331{x P F(3)-F(1)=321-1131-=++(3)由Y=3X ⇒ X=Y 31⇒31='X当3≥y 时， 3)31()31(1)(22yy y f Y ==； y<3时， 0)(=y f Y 所以：⎪⎩⎪⎨⎧<≥=3 033)(2y y y y f Y5．甲在上班路上所需的时间（单位：分）X~N （50，100）．已知上班时间为早晨8时，他每天7时出门，试求： (10分)（1）甲迟到的概率；（2）某周（以五天计）甲最多迟到一次的概率． （Φ（1）=0.8413，Φ（1.96）=0.9750，Φ(2.5)=0.9938） 解析：（1）设X 为需要时间（分）则 P{甲迟到}=P{X>60}=1-P{X<60}=1-F(60)= 1-）（）（1-11050-60φφ==1-0.8413=0.1587 (2) 设Y 为天数，则Y~B(5,0.1587) P{最多迟到一次}=P{Y=0}+P{Y=1}=411550058413.07158.08413.07158.0⨯⨯+⨯⨯C C =458413.07158.058413.0⨯⨯+=0.818976．已知某种类型的电子元件的寿命X(单位：小时)服从指数分布，它的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,6001)(600x x ex f x某仪器装有3只此种类型的电子元件，假设3只电子元件损坏与否相互独立，试求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率．（10分） 解析：（1）先求每个电子元件200小时内损坏的概率3103120006006002001|)600(60016001}200{-----=+-=-==<⎰e e e e dx e X P xx(2)设Y 为损坏的电子元件数量，则Y )1,3(~31--e BP{Y }0{1}1=-=≥Y P =1-23103103)()1(---e e C =32-e。