k11
k12
12m1
1 7.5661
8．欲使图示体系的自振频率增大，在下述办法中可采用：
A．增大质量m； C．减小梁的EI；
m EI
B．将质量m 移至梁的跨中位置 ； D．将铰支座改为固定支座 。
k 1
m m
(D )
9．图 示 体 系 的 自 振 频 率 3EI1 / (mh3) 。 ( )
m
EI=oo
EI1
EI1
h
k 6EI1 , k 6EI1
h3
m mh3
10．图示体系 EI 2105 kN m2, 20s-1, k 3105 N/m, P 5103 N, W 10kN。 求质点处最大动位移和最大动弯矩 。
Psin t
k W
2m
2m
解：
1 (1 21 2 1 2) 1 1
Psin t
A
W
l /2
l /2
3l 16 5l 32 M1
解：自振频率
B
1 ( 1 l l 3l 1 l l 2 l 2)
EI 2 4 32 2 4 2 3 4
l3 ( 1 3 ) EI 48 256
要点：
结构动力学
1. 单自由度体系的自由振动，自振频率 (刚度法和柔度法) 2. 单自由度体系的强迫振动，动力系数，动内力和动位
移幅值(振幅) 3. 多自由度体系的自由振动的频率及主振型的计算 (刚度
法和柔度法) 4. 多自由度体系受同步简谐动荷作用下的动内力和动位
移幅值的计算
掌握所涉及到的所有公式。
2 1 [( k11 k22 ) ( k11 k22 )2 4(k11k22 k12k21) ]
2 m1 m2
m1 m2
m1m2
两个主振型为
1 1.673
EI ml3 ,
2 5.07
EI ml 3
Y (1) 1
Y (1) 2
k11
k12
12m1
1 0.0661
Y (2) 1
Y (2) 2
k
3
12EI l3
36EI l3
自振频率为
k 36EI
m
ml 3
M1
动力系数
1
1
2 2
1 1 18
36
2
最大动力弯矩
M max
M st
P 2 M1 36EI
Pl 3
18EI
M1
l3
6EI l2
Pl/3 Pl/6
Pl /3
Pl/6 Pl/3
Pl /3
Pl /3
Pl /3
M1
M D max 图
得
1
12EI ml4 ,
2
48EI ml4
主振型
Y (1) 1
Y (1) 2
12m2
11m1
1
12
2
Y (2) 1
12m2
1
Y (2) 2
11m1
1
22
12．已知W 12kN, P 8kN，转速 n 300r / min , EI 5105 kN m2 , l 8 kN m2 , l 8m 。 求 B 截面的最大弯矩 MB 。
EI 2
3
2k 2
4 1 3EI 4k
1/ m 1/ m(4 / 3EI 1/ 4k) 34.16s1
1/ (1 2 / 2 ) 1.522 YDmax yst 1.522 510(4 / 3EI +1/ 4k) 0.006m
MDmax Mst 1.522 5103 7.61kN m
m EI
3EI
P 1 l
1 (1 ll 2l)
EI 2
3
1 l l l 2l3
3EI
3EI
l
1 3EI /(2ml3) m
3. 图示体系各柱EI =常数，柱高均为l， (18EI / (ml3 )) 。求最 大动力弯矩。
Psin t
EI= oo m
6EI l 2 k
解：刚架水平侧移刚度系数为
例题：
1．图 示 悬 臂 梁 不 计 杆 件 本 身 的 质 量 ，已 知 在 B
点 作 用 的 竖 向 单 位 力 可 使 B 点 下 移 l3 / 3EI ，则 此 结 构 的 自 振 频 率 等 于 ml3 / 3EI 。( )
A
EI
l
m
B
1 3EI /(ml3)
m
2．图 示 体 系 杆 长 均 为 l ，其 自 振 频 率为 3EI / 2ml3 。
4(11 22
2 12
)
2
两个自振频率为
12
1
1
0.0829EA /(ma)
22
1
2
0.624EA /(ma)
两个主振型为
Y (1) 1
Y (1) 2
12m
11m
1
12
1 5.031
Y (2) 1
12m
1
Y (2) 2
11m
1
22
0.1987
5．图 为 两 个 自 由 度 振 动 体 系 ，其 自 振 频 率 是
m a
Psin t
2a
2a
P1 1
解：柔度系数
11
1 EI
(1 2
aa
2 3
a
1 2
a 4a
2 3
a)
5a3 3EI
a a M1 P
Pa MP
自振频率
1 3EI /(5ma3) m11
1P
1 EI
(1 2
Pa 4a
1 2
a)
Pa3 EI
代入动力平衡方程
(m
2 11
1) A
1P
k 7.61 M Dmax 图 ( kN. m )
11．求 图 示 体 系 的 自 振 频 率 和 主 振 型。
m EI
y1 解：
EI1
EI1
l
k11
24EI1 l3
; k12
k21
24EI1 l3
; k22
72EI1 l3
2m EI
y2 频率方程为
2EI1 2EI1
l
l
(k11 2m1)(k22 2m2 ) k12k21 0
指质点按下列方式振动时的频率：
A．任 意 振 动 ；
B．沿 x 轴 方 向 振 动 ；
C．沿 y 轴 方 向 振 动 ； D．按 主 振 型 形 式 振 动。
x y
(D )
6．如 图 示 体 系 ： / 2，各 杆 EI = 常 数 ，不 计 杆 件 自 重 。求 振 幅 并 作 动 力 弯 矩 图 。
0
得
A 4Pa3 / 3EI
惯性力幅值
I1
m
2A
P 5
动弯矩幅值
M max M P M1I1
Pa/5
1.1 Pa
M max 图
7．求图示体系的自振频率和主振型。m1 m，m2 2m
m2 2 EI
m1 EI l
2EI l
解：
3EI
3EI
51EI
k11 l 3 , k12 l 3 , k22 l 3
4．求 图 示 桁 架 的 自 振 频 率 和 主 振 型。EA = 常 数 。
a m
a
a
解： 结构的柔度系数：
11 2a / EA
22 (11.656)a / EA
12 2a / EA
0
0
0
0
1
1
M1
P1 1
2
2
2
0
1
1
M2
P2 1
1,2 m(11 22 ) m
(11
22 )2