证明 理想流体的运动方程为
dV f 1 p
dt

对于正压流体：
1 ρ
p

PF
对于有势质量力：f Π
dV dt

PF
d

dV ds
L dt
PF ds
L
d PF 0
L
定理得证
例 y =0 是一无限长固壁，在 y = h
9.4528
kg/m3
Mae 0.3240
ue Mae RTe 120.2 m/s
确定喷管喉部气流参数及喉部截面积：
Ma1 0.6
T0 T1
1
2
1
Ma12

p0 p1


T0 T1
1
1.2755
T1 326.5 K p1 0.784 106 Pa
动是否有旋。
解 将速度转换到柱坐标后可以 被表示为
vr u cos θ v sin θ 0
v

usin θ
vcosθ

r sin2 r2

r cos2 r2

1 r
vz w 0
只有 方向的速度分量
不等于零。流体质点的运动 轨迹是一族以坐标 z 轴
为心的圆。
计算出旋转角

p0
g

u02 2g

z2

p2
g

u22 2g
H u22 2g

u2
2gH 14m / s
利用连续方程，求得
u1

u2
d2 d1
2

3.5m
/
s
利用伯努利方程 0-1截面：
H p1 V12 g 2g

p1

g

H

u12 2g


91887
g(h1

h2 2
) bh2
9800 (1 2) 1.5 2 58800N 58.8 kN
yD

yC

JCx yC A
(h1
2 h2 )
2
(h1
1 12
bh23

h2 2
)

bh2

2
1 1.5 23 12 2 1.5 2

2.17m
例 求射流对斜置平板(单位厚度) 的作用力F。
解 空气 1.4 ，R 287 J/(kg K) ，所以
Ma u
150
0.4410
RT 1.4 287 288
T0 1 1 Ma2 1.0389
T
2

p0
T0
1
1.1429
p T
T0 299 K p0 1.489 105 Pa

F

1 2
g (h1 2

h2 2 )

Q(V2
V1 )
解
1--1截面上压强合力：
1 2
g h1 2
2--2截面的压强合力：
1 2

gh22
对控制体内流体列出动量方程

F

1 2
g(h12

h22 )

Q(V2
V1)
连续性方程 伯努利方程
Q V1h1 V2h2
h1

pa
g
其速度环量为
2
2
0 6sin d(cos ) 0 8cos d(sin ) 14
例 测出龙卷风旋转角速度为 = 2.5
rad/s，风区最大
风速为 vmax = 50 m/s。求出整个龙卷 风区域的风速
分布。
解 龙卷风可以被看成是一股垂直于地 面的旋转流体，它的中心部分(涡核区) 以等角速度绕自身轴旋转，并带动周围 流体绕其转动，其流动是无旋的。
I 2 Rv 2 R2
涡核外 速度为
v

I 2 r

R2 r

1000 r
m/s
龙卷风区域
的风速分布
vθ
120.050r r
m/s , m/s ,
r 20 m r 20 m
开尔文定理
理想、正压流体在有势质量力作用下，沿任意封 闭流体线的速度环量不随时间变化。
hf


2
V22 2g

64 Re
l d
V22 2g
(2 2)
2 0.2392 64 15 0.2392




2.75m
2 9.806 127.5 0.008 2 9.806

由三段不同直径的管道串联而成的管路。 连续性方程：
H
l1
1
2
Q A1V1 A2V2 A3V3
设：流量为 Q，速度为V，来
流方向与板的夹角为 。
解 取控制体如图。因射流处于 大气之中，射流中压强都近 似等于大气压。又由伯努利 方程知: V1 = V2 = V。
x 方向动量方程： VQ1 VQ2 VQ cosθ 0
y 方向动量方程： F VQ sinθ
例 输送润滑油的管子直径d = 8mm，管长l=15m，如图所 示。油的运动粘度v=15×10-6m2/s，流量qv=12cm3/s，求油箱的 水头（不计局部损失）。
速度，
x

1
2

w y

v z


0
y

1 2
u z

w x

0
z

1
2

v x

u y


0
无旋流动
vr u cos θ vsin θ 0
v usinθ vcosθ kysin kxcos kr
例 D=60mm, d=5mm, h=200mm
p
pa
求: 杯口气压的真空度
h
D
解:
p=pa - g(h+h)
hD2/4=hd2/4
d
h
水银
所以 pa-p = g(1+(d/D)2)h
=136009.8 (1+(1/12)2) 0.2
pa-p = 26939 (N/m2)
1 d1
000
Hp

H

00
l
L
d
V2 2g
Hp

H

l
L
d
V2 2g
12.38
m
P gQH p 24280 w 24.28 kw
例 一维等熵空气气流某点流动参数为： u = 150 m/s，T = 288 K,p = 1.3105 Pa，
求此气流的滞止参数p0 、0、T0 和 c0。
解 管内为亚声速流，出口压强等于背压：
pe pb 9.3105 Pa
利用喉部和出口的质量流量相等的条件确定喉部面积A1，所以首先要计算出口截面的参数。
1
T0 Te


p0 pe


1.0210
Te 342.8 K
T0 Te
1
2
1
Mae
2
e

pe RTe
u3 (u1A1 u2 A2 ) / A3 u1d1 / d3 2 u2d2 / d3 2
u3 7.5 m / s
例：求管道（高速射流）喷嘴的拉 力F
理想、不可压流体
已知： H 10 m, d1 200 mm, d2 100 mm 解：利用伯努利方程 0-2，
z0
解:
3
3
L
l2
H
2 h
平均速度：
1
1
4Q 4 0.2
V
1.02 m/s
d 2 0.52
在面1-1和面2-2运用伯努利方程
pa
h
p
V2

l
V2
g
g 2g d 2g
h
pa p g
1
l d
V2 2g
4.39m
设所需水泵的扬程为Hp，对两水池自由液面应用伯努利方程：
Q A2

Q
1 4
d
2 2

0.3
1 0.22
4
9.55m / s
例：三通管道 d1 200 mm, d2 150 mm, d3 100 mm
平均速度为：
求： u3
1
u1 3m / s, u2 2m / s
2
3
定常水流
解： Q3 Q1 Q2
u3 A3 u1A1 u2 A2
pa

0
H
喷嘴
1 2
F p1
控 制 体
x
p2 0
喷嘴流体动量 方程 x 方向：
p1A1 F Qu2 u1
F A1u1(u2 u1) A1 p1 1731 N
（喷嘴作 用水流的 力）
喷嘴受水流拉 力为：1713 N （牛顿）
3．水流对溢流坝的作用力 例 求水流对溢流坝坝体的作用力。
1

p1 RT1
8.3666
kg/m3
u1 Ma1 RT1
1 4.9355 kg/m3
u1 217.3 m/s