21
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例7、求下面柯西问题的解：
2u x 2
2
2u xy
2u 3 y 2
0
u
y0
3x 2 ,
u y
y0 0
解：特征方程为：
dy2 2dxdy 3dx2 0
特征线方程为：3x y C1, x y C2
引入阶跃函数：
H
(x)
0( x 0) 1(0 x )
则： H (x) (x)
所以定解问题的解可以进一步表达为：
u(x,t) I
2a
xx0 at ( )d
xx0 at
I
2a
H ( )
xx0 at xx0 at
I
2a
H
x
x0
at
H
x
x0
at
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、无界域上波动方程定解问题求解
1、达朗贝尔公式
无限长细弦的自由横振动的齐次定解问题为：
utt a2uxx (x R,t 0)
u t0 (x) ut t0 (x)
(1) 由第2章第4节的方法，求出泛定方程通解为：
u(x,t) f1(x at) f2 (x at)
t 0
xa(t ) xa(t )
f
(, )d d
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例4、求定解问题：
utt uxx cos x(x R, t 0) u t0 cos x , ut t0 xex
解：这可以看为一般强迫振动问题，所以有：
x
,
0
x
ux 0, t 0
求解思路 ：
设法把半无界弦处理成相应的无界弦情形： 只要无界弦在x≥0满足对应的半无界弦的边界条 件，无界弦的限制在x≥0的解就是半无界弦的解。
25
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
1、端点固定情形 ：
utt u(x,
令：
3x y x y
22
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
变换原方程化成标准型： 2u 0
通解为 :
u f2 ( ) f2 () f1(3x y) f2 (x y)
代入条件得：
f1(3x) f2 (x) 3x2 f1 (3x) f2 (x) 0
a2uxx
0)
0,
x
0 x ,ut x,
,t
0
0 x,
0
x
u 0,t 0
设对应的无界长弦的自由振动为：
utt a2uxx 0, x ,t 0
u ( x,
0)
x
,
ut
x,
0
x
由达朗贝尔公式：
u(x,
t)
1 2
x
at
x
at
1 2a
.xat
d
.xat
26
1
0.5 n 0
t
f (x, )
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
作变换： t t
则齐次化问题为：
Wtt a2Wxx (x R, t 0)
W t0 0 ,Wt t0 f (x, )(x R)
由达朗贝尔公式得：
W (x,t, ) 1
xat
2
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
于是，原定解问题的解为：
u(x, t)
cos
x
1 2
( x
t
1)e x t
(x
t
1)e x t
4、无限长弦的有阻尼振动定解问题 例5、求无限长弦的有阻尼振动定解问题：
utt a2uxx 2ut 2u 0(x R,t 0) u t0 (x), ut t0 (x)
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2) 把通解代入初始条件得：
f1x f2x x af1 x af2 x x
于是得：
f1
x
f2
x
x
f1
x
f2
x
1 a
x
x0
d
f1(x0 )
f2 (x0 )
由此求得：
f1
x
1 2
(x)
1 2a
例3、求定解问题：
uxx uyy 8(x R, y 0) u y0 0, uy y0 0
解：这可以看为纯强迫振动问题，所以有：
u(x, y) 1 2a
y 0
xa( y ) xa( y )
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)d
d
4 y2
12
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
utt a2uxx x at(x R,t 0) u t0 0 , ut t0 0
解：这是纯强迫振动问题，所以有：
u(x,t) 1 2a
t 0
xa(t ) xa(t )
(
a
)d
d
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
xt2 at3 26
分析：
18
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
泛定方程与自由弦振动相比较，多了阻尼项，因此， 不能直接使用达朗贝尔公式求解。对于阻尼振动， 常常可以表示为其解中带一个随时间成指数衰减的 因子，所以可以令：
u(x,t) etV (x,t)( 0)
将其代入阻尼振动方程得：
Vtt a2Vxx 2( )Vt ( 2 2 2 )V 0
取β=ε，可得：
19
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
Vtt a2Vxx 0(x R,t 0)
V t0 (x),ut t0 (x) (x)
f1 ( x)
1 4
x2
C
f
2
(
x)
3 4
x2
C
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
u(x, y) 1 (3x y)2 3 (x y)2 3x2 y 2
4
4
(二)、半无界域上波动方程定解问题求解
讨论半无界弦自由振动问题：半无界弦是有界真实 弦的抽象。物理意义是考虑靠近一端的那段弦，而 认为另一端的影响还未传到。所以，边界条件只有 一个，该边界分为固定与自由情形。
f (, )d
2a xat
即：
W (x,t, ) 1
xa(t )
f (, )d
2a xa(t )
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由齐次化原理得：
u(x,t) 1 2a
t 0
xa(t ) xa(t )
f (, )d d
例2、求定解问题：
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
Vtt a2Vxx (x R, t 0)
u t0 (x) ut t0 (x)
(1)
Wtt a2Wxx f (x, t)(x R, t 0) W t0 0 Wt t0 0
(2)
(1)的解为：
V
(x,
t)
1 2
x
at
x
at
1 2a
.xat
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
让该解满足半无界弦边界条件得：
解：定解问题为：
uutt
t
0
a2uxx
0,
0, x x
ut
t0
I
x
x0
,
x
可直接代入达朗贝尔公式求解
u(x,t) 1 2a
xat I
xat
x0
d
I xx0 at ( )d
2a xx0 at
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2、无限长弦的纯强迫振动定解问题
无限长弦在纯强迫力f(x,t)引起的振动定解问题为：