Lecture 4市场风险测度：VaR方法在险价值的界定□VaR是度量一项投资或投资组合可能产生的下跌风险的方法。
□VaR,描述的是在给定的概率水平下（即所谓的“置信水平”），在一定的时间内，持有一种证券或资产组合可能遭受的最大损失。
网题的答宣□在较低的概率下，比如1%的可能性，既定时间内实际损失可能超过的最大损失是多少?□在险价值的计算，如在99%的置信水平下，市场价值在1天内可能遭受的最大损失P「f （X）VaR=2.33o在险价值的计算 ________________________________ 口计算VaR值，首先需要魚资产组合价值在既定期间内的远期分布，或者说是资产组合价值变动的分布。
□只有完成第一步之后，才能计算分布的均值以及分割点。
□推导分布的基本方法3种：■历史模拟方法■分析性的方差■协方差方法■蒙特卡洛方法□以上方法都包含两个基本步骤：(1)风险因子的选择■资产组合价值的变动是一些能够影响每项工具价格的市場因素的麦动所造晟的。
■风险因子的具体组成取决于资产组合的构成情况，需要作出一定的判断。
C(2)选择将市场风险因子变化纳入模型的方法■非参数VaR■参数VaR风险因子的选择美元/人民币远期合约美元/人民币期权•美元/人民币远期汇率■美元/人民币远期汇率•美元利率•人民币利率•美元/人民币汇率的波动率将市场风险因子变化纳入模型的方法: 方差■协方差方法□方差■协方差方法是一种参数VaR方法。
□参数VaR方法简化了VaR的推导，直接假定收益分布为某种可分析的密度函数f (R):然后利用历史数据来估计假定的分布函数的参数。
□分析性的方差■协方差方法假定风险因子服从对数正态分布，即风险因子收益的对数服从正态分布。
□正态分布可以用两个参数来完全刻画，因此必须从如下条件中推导出正态分布的均值和方差：■风险因子的多变量分布■资产组合的构成方差■协'方差方法□如果假定R 服从均值为卩、标准差为。
的正态分布, 则：□如果C 代表置信水平，如99%,则可以把R*界定为 下述形式：Prob(R < A*) =「f(R)dR = Pro* < 尺 _") = l-cJ-00 CT□ a = (R-^)/(y 是一个服从标准正态分布N (0, 1)的变量。
因此，R*的推导非常简单，查标准累积正态函数表即可。
R*可以表示为：R* = // + axcr 根据 VaR 的定义：VaR = (^-R")xV = -ax(yxV22 CT 2 ] 1 ⑴-“)常见的置信水平函数的临界值a -----99.97% -3.4399.87% -3.00-2.33 -1.65例:股票资产组合—个由两种股票(微软和埃克森)构成的资产组合，微99%95软公司股票为比股，股价为S1 ,埃克森公司股票为112股z股价为S2。
则资产组合的价值为:— Z2] S] + 肌。
S2(1)风险因子的选择:风险因子为两种股票各自的价格si、s2 ,因此资产组合的收益率尺,为：n X S { + n 2S 2 AS】n 2S 2 A 5 22=G) \ R \ + (D 2 R 0 —工G) j R IR是第i种股票的收益率；。
童资产组合中投资于第i种股票的比重。
(2 )风险因子的分布:假定价格服从对数正态分布, 即时期(t-1 , t)的收益服从正态分布:同时，假定两种股票的收益率服从正态分布, 均值、标准差分别为M 、"，两种股票收益率间 的相关系数为P 。
单个资产的VaR —1H VaR□每种股票收益的边际变化服从单变量正态分布:口在置信度99%的水平下，1日的VaR 值为:VciR. (1;99) = 2.33CT.S7?z =ln(-^) = ln(l-AS,从1日VaR值到10日VaR值口］日VaR值的推导以资产组合价值的日分布为基础。
从理论上,可以根据资产组合价值的10日分布来计算10日VaR值。
□—般,如果假定市场是有效的，资产在10天内的每日收益％独立同分布,则可以从1日VaR直接推导出10日或其他任何期间的VaR值。
口熾益RgRt服从正态分布,均值和方差“0=10"^i2o=lOcr2□贝何以得到:VaR(10;c) = 410VaR(l;c)单资产VaR的一般计算公式□如果持有期为At、置信度为c ,则：VaR —一oc(1 — c) x V x VAr x b□其中，a (•)表示标准正态累积分布函数的逆函数。
□如果持有期较长，收益率的均值发生漂移，则VaR的计算就应当使用收益率的漂移来进行修正, 则：VaR =) x U = [“ x (1 + △》)一2T ] xV =(// x Ar — cif (1 — c) x V A7 ) x cr x V收益率漂移的修正PVaR(x)收益率漂移UAt投资组合的VaR _______________ □收益正态分布资产的线性组合,也服从正态分布：心〜2口其中：化=工H （J：=材CF； + 亦CT； + 2a）\O）2 COV（K , R2）/=1=肝of + ⑵打；+ 2a）l co2pa i a2□则投资组合的99%置信水平下的1日和lOHVaR 值分别为：V<7/?V(1;99)=2.33CF V V血尺(10;99) = V10V(2/?V(1;99) = 233VT0cr v V投资组合VaR 的一般y 算公式□如果持有期为At 、置信度为c ,则：M M VaR — —a(l — c)x VZ7 X V XV 戶i 心i□如果持有期较长，则VaR 使用收益率的漂移修正, 贝y ：M VaR = V x{b x—a(l — c)x VZFxjb 。
jpij M M 工工吓Pijpi,i=i衍生产品的VaR _________________ □投资组合包括衍生产品的VaR估计的关键问题是，即使标的资产的价格变化是正态分布的，衍生产品本质上的非线性意味着衍生产品价格变化不可能满足正态分布假定。
□如果考虑标的资产的变化非常小时，例如一个非常短的时间间隔，则可以用期权的Delta值近似估计期权价值变化的敏感性。
□对于较大的价格变动，则需要更高阶的近似。
△ : Delta值□根据期权定价公式:C = SN(dJ-Ke~rt N(d2)□则期权的Delta® A = |f = Wi)oS□若标的资产价格变化的标准差为6则期权头寸价值变化分布的标准差为：CT c = 3 = N(djcr衍生产品VaR计算：£elta逼近□考虑禽有单金衍生产品的投资□一项期权或是期权的投资组合的敏感性，就是Delta 値。
□如果标的资产的分布的标准差是SbJZI。
□那么，期权头寸价值变化分布的标准差为：A x (5CFA/A7)□“△”必须为整个投资组合头寸的Delta值，即对于特定标的资产所有相关期权的敏感性,等于标的资产所有期权头寸的Delta值的总和o包含期权的投资组合的计算公式□一个包含期权的投资组合的V M~~MVaR = —a(l— c)x V A7 XV J=I，=i□Ai为第i项资产价格变动一个单位时，导致投资组合价值的变动。
□注：标的资产的4为1。
Delta—Gamma 逼近□当标的资产的价格变动非常微小时，可以使用Delta 逼近，但更精确的逼近要引入高阶项，加入Gamma 或者凸性影响。
□假设投资组合包括一只股票期权，则标的资产的价值变化AS和期权价值变化AV之间的关系为:△―西AS +丄卑（何2+空△+.6S 2dS2dt口由于假等贝U :；—□ 一阶展开表明期权价值的变化与标的资产的变化成固定比例。
□二阶展开，由于存在确定性的漂移项S及期权的e值AV。
z二阶展开含有确定性的偏移项□更重要的是，Gamma ( r/Y)的作用是弓I入AS的随机项构成中的非线性项。
衍生品VaR估计的实际困难□估计非线性产品的VaR的显而易见的途径是对于标的资产的非线性行为使用模拟，然后运用估值公式和数值算法推断整个投资组合价格变化的分布。
□这种方法最终可以估计岀非线性产品的VaR, 但存在一个缺点，就是运算非常耗时。
□如果要进行成千上万此的模拟，每一次都必须要解一个多因子偏微分方程，那么求解VaR的时间花费将过长。
将市场风险因子变化纳入模型的方法: 历史模拟法□历史模拟法是一种非参数VaRo□历史模拟法不要求使用者做出风险因子分布的分析性複定和理论分韦的祜计。
□ VaR的计算是以按照风险因子在特定时期内的实际数据构造的历史分布为基础。
□历史模拟法要得出比较合理的历史分布，至少需要2~3年的数据。
□历史模拟法是根据敞口的每日收益数据的历史分布来计算VaR,没有对敞口收益的分布函数做出任何假定。
历史模拟方法一简单处理□历史模拟方法的原理很简单。
□首先，对特定历史期间（比如年）内观察到的相关市场价格和（风险因子）收益率的变化进行分崭。
□然后，从历史数据中推导出风险因子来构造资产组合收益的分布。
□根据这个分布，可以计算资产组合的VaR值。
可以把模拟山的每个日交花值看成分布的一个观测值。
历史模拟方法的步骤_____________________________口该方法涉及三个步骤：■选择特定时期内（比如250天）风险因子实际日变化的样本；■将这些变化数据用于风险因子的现行价格，然后重新估计现行资产组合的价值；■做出资产组合价值分布的图像，确认在99% 的置信水平下，第一个抽样分位数对应的VaR值。
例:历史模拟口爲鑰隔鶉买入期权/首先判■美元/马克汇率■美元3月期利率■马克3月期利率■ 3月期美元/马克汇率的波动性□简单起见z忽略利率风险因子的影响丄只考虑汇率皐其遽雀性的影响。
我但使用过去100天内汇率及箕波动性前日观测横，如曩所示。
□然后，利用风险因子的历史分布来为敞口重新定价。
过去100天的历史汇率1.4024 美元/马克汇率(FXt)匸率波动性（at ） -1001.3970 0.149 1.3960 0.149 1.3973 0.151 1.40150.163 0.164 -■-D 航讖尔斯期权定价模型'计算资产模拟价格C 从资产现价（1.80美元）的变化 模拟价格C ( FX99 ； o99 ) =1.75 模拟价格c ( FX98 ； 098 ) =1.73 模拟价格c ( FX97 ； 097 ) =1.69■0.05美元 -0.07美模拟价格c ( FX2 ； G2 ) =1.87+0.07美元 模拟价格C ( FX1 ； cl ) =1.88+0.08美元□最后一步是Z 通过描绘出资产组合收益在过去100天的历史数据,或直接甄别资产组合价值变化情况，来确认历史分布的第一个百分位数。