知识概要
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
a 0 2 b 4ac 0 （2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立 a 0 2 b 4ac 0
(2)x 13 x 36
2
解 : (1)x 2 7 x 6 [ x ( 1)][ x ( 6)] ( x 1)( x 6). (2)x 2 13 x 36 ( x 4)( x 9).
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三、十字相乘法
2．一般二次三项式 ax 2 bx c 型的因式分解
数学学科的基本要求
一、遵守课堂纪律； 二、课前简要预习； 三、课堂积极思考； 四、必要时记笔记； 五、及时总结巩固； 六、先复习再做题； 七、认真完成作业。
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一、一元二次方程的根的判断式
2 ax bx c 0 (a 0) ，用配方法将 一元二次方程 其变形为： b 2 b 2 4ac (x ) 2a 4a 2
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当a<0时, 二次项系数先化为正.
例3.解不等式 －x2 ＋2x－3 > 0 略解: －x2 ＋2x－3 > 0
x2 -2x+3 < 0
无 解
可以记为 解集为:Φ 例4.若改为:解不等式 －x2 ＋2x－3 < 0 呢?
解:x2 -2x+3 >0
xR
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2
x 2 ( p q ) x pq x 2 px qx pq x 2 ( p q ) x pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q ) ( x p )( x q )
【例2】因式分解： (1) x 2 7 x 6
判别式 △=b2- 4ac
△>0
△=0
△<0
y
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
y
x2 x O x1
y
x1 O
x
O
x
ax2+bx+c=0 的根
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 x1=x2= b 2a
无实根
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一、一元二次方程的根的判断式
【例1】已知关于的一元二次方程 3 x 2 2 x k 0 ，根据 下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相 等的实数根 (3) 方程有实数根； (4) 方程无实数根．
y
y>0
的图象
(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
x1 O
x2 x
y<0
O x1
x
O 没有实根
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
ax2+bx+c>0 (y>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2}
有两相等实根 b x1=x2= 2a
b {x|x≠ } 2a
R Φ
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二、一元二次方程的根与系数的关系
2 ax bx c 0 (a 0) 的两个根为： 一元二次方程
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 , x2 2a 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac b x1 x2 2a 2a a 2 2 b b 4ac b b 4ac ( b )2 ( b 2 4ac )2 4ac c x1 x2 2 2 2a 2a (2a ) 4a a
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c=0
y=ax2+bx+c
一元二次不等式
一元二次方程
解集的端点
方程的根
一元二次函数 函数图像与x轴 交点横坐标
一元二次不等式的解集为一元二次函数图象 在x轴下方或上方图象所对应x的范围。
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例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0, 先求方程的根
图象为:
-2
例2.若改为:不等式 2x2－3x－2 < 0 .
注:开口向上,
不等式小于0的
3
解集:“小于取中间”。
小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式 其方法步骤是:
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小结：
一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集.
大家知道， (a1 x c1 )(a2 x c2 ) a1a2 x 2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 ． 反过来，就得到： a1a2 x2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) 我们发现，二次项系数 a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解成 c1c2 ，把 a1 , a2 , c1 , c2 写成 a1 a2
5、 x －(a＋1) x＋a 答案： (x－1)(x－a)
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2
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复习一元二次方程与一元二次函数有关知识：
(一)一元二次方程的解法 ax2 bx c 0(a 0)
（1）因式分解法:（十字相乘）
b b2 4ac x ; （2）公式法： 2a b c （3）根与系数: x1 x2 , x1 x2 a a (二)一元二次函数 y ax2 bx c(a 0)
练习一：解不等式 4x2－4x＋1 > 0
解:因为△ =0,方程4x2－4x＋1 =0的解是 1 x1 x 2 2， 所以,原不等式的解集是
1 x | x 2
若改为:4x2－4x＋1 <0
无解
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练习二：
1.写出下列不等式的解集：
(1) (x – 1)(x – 3) < 0
2
x x x x
1
x x2
2 1
b x R x 2 a

x x x 或x x
1 x x2
R
b x x 2 a
R

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利用一元二次函数图象解一元二次不等式时，要 注意下面三者之间的联系：
十字相乘法
作业：将下列各式分解因式 2 答案： (7x－6)(x－1) 1、 7x －13x＋6 2、 －y －4y＋12
2 2 2 2
答案： (－y+2)(y+6)
3、 15x ＋7xy－4y 答案： (3x－y)(5x＋4y) 4、 10(x ＋2) －29(x＋2) ＋10
答案 ：(2x－1)(5x＋8)
(1) 当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根：
b b 2 4ac x 2a
2 b (2) 当 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根：
x1,2
2
b 2a
根的判别式
b2 4ac
(3) 当 b 4ac 0 时，方程没有实数根．
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解 : (1)12 x 5 x 2 (3 x 2)( 4 x 1).
2
(2)5x 2 6 xy 8 y 2
3 4 1 5

2 1 2 4
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( 2)5 x 2 6 xy 8 y 2 ( x 2 y )(5 x 4 y ).
ax2+bx+c<0 (y<0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
一元二次不等式的解的情况
△＝b2－4ac
△＞0
△＝0
△＜0
y
y=f(x)的图象 O
x1 x2
y x
1
y
x b 2a
O
x
O
x
R
f(x)＞0的解集
f(x)＜0的解集 f(x)≥0的解集 f(x)≤0的解集
x x x 或x x
2 2 2
2
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立方和、立方差公式
a b (a b)(a ab b )
3 3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
3 2 2
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一、公式法(立方和、立方差公式)
a b (a b)(a ab b )
开口方向: a>0 开口向上；a<0 开口向下.
b 对称轴: x 2a b 4ac b2 , 顶点坐标: 4a 2a
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函数 、方程、不等式之间的关系
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c △>0 y
y>0
△=0
y
y>0
△<0
方程的解2x2－3x－2 =0的解 是 1 x1 , x2 2. 2
所以,原不等式的解集是
然后想像图象形状
1 x | x , 或x 2. 2
注:开口向上, 不等式大于0的