vn收敛 ====> un收敛

定理12.7比式判别法(达朗贝尔判别法)设正项级数 un 若正整数 N 0及常数q (0 q 1). un1 q 1 un 收敛. (i) 若 n N 0 , 有 un un1 1 un发散. (ii) 若 n N 0 , 有 un
lim un l (i) 当 l 1 时, 级数 un 收敛; n (ii) 当 l 1 时, 级数 un发散. n 证 lim un l , 当取 >0时, N0,
n
n
当n > N, 有 l un l . Th12.8(i) n (i) 当 l 1 时, 0 (取) < 1-l , un l + 1 ===> un 收敛 (ii) 当 l >1 时, 1-l (取)> 0,
收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将对最简单
的正项级数建立收敛性判别法则. 一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、比式判别法和根式判别法 三、积分判别法 *四、拉贝判别法
一、正项级数收敛性的一般判别原则
正项级数：∑un, un0 正项级数敛散性. 定理12.5 正项级数 vn 收敛 部分和数列{Sn}有界, 即M0, 对nN 有 Sn M .
1 收敛, ∵正项级数 n 2 n( n 1)
1 ∴由比较原则得, 级数 2 收敛. n n1

例Z2 若级数 u , v 收敛, 则级数 unvn 收敛.
2 n 2 n
证
∵级数
2 2 un , vn 收敛，∴
2 2 2unvn un vn , 又 unvn
(iii) 当 l 且 v 发散时, u 也发散. 1 1 ;(2) sin 收敛性？ 例3 级数 (1) 2 n n
n n n n
n
1 找:同阶或等价无穷小 n 2n 1 2 n lim 解:(1) lim lim 1 n n 2 n n n 1 n 1 n n 2 2 1 1 收敛. 由比较原则极限形式(i),得 n n 收敛， 2 n 2 1 比较原则的 sin 极限形式 得， 1 1 n 1, (2):lim ∵ n 发散, sin n发散 1 n
【小结】----正项级数收敛性
1.有界原则： un 收敛 M>0,有Sn M
n>N (), un vn vn 收敛 un 收敛 2.比较原则： un 发散 vn 发散. 3.比式判别法： 题型特点:un含有连乘积,m次方 un1 (i ) n N 0 , 有 q()<1 un 收敛. un un1 (ii) n N 0 , 有 1 un发散. un 当 q 1 时, un 收敛 un1 lim q n u 当 q 1 或 q 时, un 发散. n
n
*例4 判断正项级数
sin

1
2 n sin 1 n
的敛散性.
1 n
2 n sin 1 n
1 n n 1, 解 lim ∴可将 n 1 n
1 与 2 进行比较 n
x3 x 2 n 1 1 n 1 % sin x x ( 1) o( x 2 n ) lim(1 n sin )ln n 3! (2n 1)! n n 1 1 1 ln n 2 lim[1 n( o( 2 ))]ln n lim[ n o( 2 ) ] 0, n n n n n n
Sn = u1 +u2……+un < v1 +v2……+vn =Sn M . un vn ,n 正项级数 vn 正项级数 un
v1…+v N +v N 1…+vn…
un vn ,n>N
正项,收敛
改变有限项,收敛性不变
v1…+v N +uN 1…+un…
正项,收敛 正项,收敛
1 lim n
n 2 n sin 1 n
∴根据比较原则极限形式知, 正项级数
1 n2
lim
n
n n
2
1 2 n sin n
lim n
n
1 2(1 n sin ) n
lime
n
1 2(1 n sin )ln n n
1.
收敛.

n
1
2 n sin 1 n
P16E1(1)~(3)(5)~(7)(9); P25zE3；4(3)
根据比较原则及上述不等式可得 级数 un 收敛.
推论1(比式判别法的极限形式) 若 un 为正项级数.且 un1 lim q (i) 当 q 1 时, un 收敛; n u n (ii) 当 q 1 或 q 时, un 发散. un1 q, 0 ( |1 q| ), 证 ∵ lim n u n un1 q 1, N>0,当 n > N 时,有 1 q un
【作业】--P16E1(奇数);2(偶数);3;4;6
定理12.8根式判别法(柯西判别法) 设 un 为正项级数
证 (i) n N 0 , 有 un l 1， un l n ,
n
(i) 若 n N 0 ( 0), 有 n un l () 1 un 收敛; (ii) 若 n N 0 ( 0), 有 n un 1 u 发散.
2 2 (un +vn ) 收敛，
根据比较原则得, 级数 unvn 收敛.
P16E1(1)(2)(4)(8);3~7;
vn收敛 比较原则: n>N , un vn ====> un收敛 在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便. 推论 (比较原则的极限形式) 设 un , vn 是两个正项级数 un 若 lim v l , n n (i) 当 0 l 时, un , vn同敛散; (un,vn同阶无穷小) un 证 (i) lim l , 对正数 l , N > 0, n v n un l 当 n > N时,恒有 vn
n n n n
un 证 (ii) 当l = 0时, lim l =0, 对正数 l , N > 0, n v n un 0 un (0 )vn = vn 当 n > N时,恒有 vn
(iii) 当 l 且 v 发散时, u 也发散.
∴级数 vn 收敛, un 也收敛. (iii) 若l , 则ε=1, N0,当n > N 时, 都有 un 1 ， un vn . vn ∴由比较原则知, 若 vn 发散, 则 un 也发散.
推论 (比较原则的极限形式) 设 un , vn 是两个正项级数 un 若 lim l (i) 当 0 l 时, un , vn同敛散; n v n (ii) 当 l 0 且 v 收敛时, u 也收敛;
(i)当 q 1 时, 比式判别法的 (i),
u
n
是收敛的.
(ii)若 q 1, 即 q 1 0, (取) q-1，
是发散的. un1 1, 若 q , 则 N , 当 n N 时,有 un 比式判别法的 (ii), un 是发散的.
n
比式判别法的 (ii),
u
n
是发散的.
定理12.8根式判别法(柯西判别法) 设 un 为正项级数
(i) 若 n N 0 ( 0), 有 n un l () 1 un 收敛;
推论1(根式判别法的极限形式) 设 un 为正项级数,且
n
(ii) 若 n N 0 ( 0), 有 n un 1 u 发散. n
u
推论1(比式判别法的极限形式) 若 un 为正项级数.且 un1 lim q (i) 当 q 1 时, un 收敛; n u n (ii) 当 q 1 或 q 时, un 发散. 2 25 258 2 5 8[2 3( n 1)] , 例6 级数 1 1 5 1 5 9 1 5 9[1 4( n 1)] 题例特点:un含有连乘积 u = 2 5 8[2 3( n 1)][2+3n] n1 1 5 9[1 4( n 1)][1+4n] un1 解 lim n u n 2 3n 3 1, lim n 1 4n 4 根据推论1，级数收敛.
∴ ( l )vn un ( l )vn .
由比较原则及上式得,
当 0 l 时,
u , v
n
n
同敛散
推论 (比较原则的极限形式) 设 un , vn 是两个正项级数
un 若 lim l (i) 当 0 l 时, un , vn同敛散; n v n (ii) 当 l 0 且 v 收敛时, u 也收敛;
n
∵等比级数

n =N 0 1
l n 收敛(0 l 1),
∴由比较原则,
n
n =N 0 1


un 收敛,进而 un 也收敛,
n =1

un 1n 1. (ii) n N 0 , 有 un 1，
显然,当 n 时, un 0
∴由级数收敛的必要条件可知,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、比式判别法和根式判别法
比较原则: n>N , un vn
q n1收敛 , （0 < q < 1） 比较对象：等比级数 n 1 u3 un u2 q, q, , q, u2 u3 un q n1， u1 u2 un1 u1 u2 un1 un u1q n1 .