• （三）形函数的性质
– 由形函数的性质1和性质2及与坐标的线
性关系
• 在三角形ijm的形心有 Ni 1 3,Nj 1 3,Nm1 3 • 在ij及im两边的中点有 Ni 1 2,Nj 1 2,Nm1 2 • 在单元ijm面积上积分有
• （二）形函数
– 将i，j，m三个结点的水平位移分量和结
点坐标分别代入上式中的第一式，可以
得到：
ui a1 a2xi a3yi
uj a1 a2xj a3yj
um a1 a2xm a3ym
.
12
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
– 写成矩阵形式，有：
uuij
1 1
xi xj
um 1 xm
yi yj
12C12
ym3 3
.
13
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
– 将矩阵C求逆，可将待定的中间参量α1， α2，α3用节点位移ui等表示出来，即
1
ui
2
C
1
u
j
3
u m
1 xi C 1 xj
1 xm
.
yi yj 2A ym
14
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
– A是三角形单元ijm的面积。只要i，j，m三
点彼此不重合则A不等于0；当i，j，m呈
逆时针排列时|C|>0。由线性代数
xj xm
yj ym
C1 C
1
1
ym
C 2A 1 yj
1
xj
1 xm .
xm ym xi yi 1 yi 1 ym 1 xm 1 xi
xi yi
xj
ue Nee Nie
Nej
Nm e
ij
.
m
22
3.2 三结点单元的位移模式
• （三）形函数的性质
– （1）形函数Ni在i结点值为1，在其余结点
为零；即
Nixk,yk01 kkii
Nixi,yiaibi2 xA iciyi 1
Ni xj,yj
aibixjciyj 2A
0
N ixm ,ym a . ibix 2m A ciym0
3
3.1 离散化
• （一）离散化
– 将平面域Ω划分为有限个小单元，每个单 元用单元结点相连接，把无限个自由度 的连续体变为通过有限个结点联结起来 的“单元组合体”，使问题转变成有限个 结点上有限个未知量问题。
.
4
3.1 离散化
.
5
3.1 离散化
• （二）离散化过程
– 建立坐标系 – 选择单元类型 – 划分网格 – 单元和结点编号，给出结点坐标 – 在结点上施加载荷及位移约束
.
8
3.2 三结点单元的位移模式
• （一）三结点单元
y
vj
(xj , yj ) j
v(x,y)
vm
uj
u(x,y)
vi ui
i (xi, yi)
m (xm, ym)
um
O
.
x
9
3.2 三结点单元的位移模式
• （一）三结点单元
– i结点坐标为（xi，yi）
• i结点位移为
i
u v
i i
– j结点坐标为（xj，yj）
第三章
平面问题的有限元法 三角形单元
.
1
第三章 平面问题的有限元法 2 -三角形单元
• 3.1 离散化 • 3.2 三结点单元位移模式 • 3.3 用结点位移表示单元应变 • 3.4 用结点位移表示单元应力 • 3.5 单元刚度矩阵 • 3.6 单元刚度矩阵的性质 • 3.7 外力等效移置到结点 • 3.8 两个单元的结构 .
.
6
3.1 离散化
• （二）离散化过程
– 单元类型
.
7
3.1 离散化
• （三）离散化应注意的问题
– 1、单元精度问题，复杂的单元计算精度 高
– 2、单元尺寸问题，合理确定单元尺寸 – 3、集中力的作用点及分布力的突变点最
好选在结点处 – 4、区分厚度变化和物性变化 – 5、单元形状问题，以内角60°为宜
y
j
1
yj
1 yi
1
xi
1 xj
15
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
C1
1 2A
abii ci
aj bj cj
am bm
cm
ai
x j ym xm yi
xj xm
yj
ym
1
bi
yj
ym
1
yj ym
1 ci xm x j 1
xj xm
12 3
21Aabciii
aj bj .cj
abmmuuij
cmum
16
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
12 3
21Aabciii
aj bj cj
abmmuuij
cmum
u12x3y v45x6y
u 1 x y12
3
1 1 x
2A
yabii
ci
aj bj cj
abmmuuij
Ni
cm.um
Nj
Nm
• j结点位移为
j
u
v
j j
– m结点坐标为（xm，ym）
• m结点位移为
m
u v
m m
.
10
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
– 以平面逼近曲面的想法，设单元内任一 点的位移是x，y的线性函数，即
真实位移分布 近似位移分布
uv4152xx63yy
.
11
3.2 三结点单元的位移模式
uuij
um
17
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
uN iuiN jujN m um
Nix,yai b2ixAciy
Njx,yaj
bjxcjy 2A
Nmx,yamb2 mA xc.my
18
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
– 同理，从三个结点的y方向位移vi，vj，vm 得出单元内任一点的y方向位移
– 单元结点位 v
j j
u
m
v m
.
21
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
– 单元形函数矩阵
N e N 0 i N 0 i N 0 j N 0 j N 0 mN 0 m N ie N e j N m e
– 单元内任一点的位移矢量可简写为
vN iviN jvjN m vm
– 三个形函数Ni，Nj，Nm与u的完全相同
.
19
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
– 单元内任一点的位移矢量可记为
ui
uj
ue
u v
Ni
0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
uvmi
vj
vm
.
20
3.2 三结点单元的位移模式
• （二）形函数
23
3.2 三结点单元的位移模式
• （三）形函数的性质
– （2）在单元内任一点三个形函数之和等 于1，即Ni+Nj+Nm=1。
Nix,yNjx,yNmx,y
21Aai bixciyaj bjxcjyambmxcmy
1 2A
ai aj
am
bi bj
bm
xci
cj
cm
y
.
24
3.2 三结点单元的位移模式