3
多元线性回归
本文采用多元回归分析对 CET － 4 的成绩与大学四学期英语成绩的关系进行线性回归分 析， 它是处理多个变量间相互依赖关系的一种数理统计方法 ． 变量间的相互依赖关系在实际问 回归分析是研究这种相互依赖关系的有效数学方法 ． 题中是大量存在的， 3． 1 多元线性回归模型的建立
x2 ， …， x m ） 线性相关， x t1 ， x t2 ， …， x tm ） （ t = 1 ， 假设因变量 Y 与（ x1 ， 收集到的 n 组数据 （ y t ， …， n） 满足以下回归模型：
2
2． 1 Bootstrap 检验
检验
Bootstrap 方法中文译为 “自助法 ” ， 自助法是一种重复抽样方法， 也是一种以观察数据为 它广泛地应用在参数估计、 假设检验、 回归分析等许多 依据的模拟方法． 随着计算机的高速化， 统计领域中． 我们考察假设检验问题 1 ） H01 ： μ 农 = μ 城 vs H02 ： μ 农 ≠ μ 城 Y 分别表示来自农村和城市的两组样本 ， 记 X、 根据经验和相关常识，假设这两组样本相 互独立是合理的． 我们采用 Bootstrap 方法如下： 珔 珔 1． 由已知数据计算 X 、 Y 的均值 X 、 Y 之差的绝对值 T = 珔－ 珔 X Y = 15． 2670．
表1
户籍 项目 农村 418 城市 458 大一大二英语平均 成绩 70 分以上 542 62． 51%
数据分布情况表
成绩等级 大一大二英语平均 成绩 70 分以下 334 37． 49% 文理科 文科 56 理科 73
人数
百分比 47． 72% 52． 28%
43． 41% 56． 59%
注： 由教务处提供学生四学期的英语成绩及 CET － 4 的首次考试成绩．
short ） via a research on the undergraduate students enrolled in 2005 in our university． It is found out by the Bootstrap method and the T － test that the CET － 4 performances have significant differences between the students from the urban and the rural areas，between the freshmen and the sophomores，and between the students of science and art． A multivariate linear regression model and a Logistic model are established for analysing the results of the CET － 4 and forecasting the passing rates． Key words CET － 4 Bootstrap test T test Multiple regression analysis Logistic model
基于表 1 中已经分组的学生， 我们采用 Bootstrap 方法和 t 检验两种方法检验了 1 ） H01 ： μ 农 = μ 城 vs H02 ： μ 农 ≠ μ 城 ， 检验来自农村与来自城市的学生四级考试成绩是否有 差别； 2 ） H11 ： μ 高 = μ 低 vs H12 ： μ 高 ≠ μ 低 ， 检验平时英语成绩水平不同的人的四级考试成绩是否 有差别； 3 ） H21 ： μ 文 = μ 理 vs H22 ： μ 文 ≠ μ 理 ， 检验文理科学生的四级考试成绩是否有差别 ， 这三个 假设检验问题． 在此基础上， 我们建立了 CET － 4 成绩和相关因素的回归方程， 并利用 logistic 模型预测了 学生的四 = β0 + β1 x t1 + … + β m x mt + ε t
2 ε t ～ N（ 0 ， σ ）， 相互独立
（ t = 1， 2， …， n）
回归模型的结果及分析
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数学理论与应用 表2
项目 城市 农村 大一大二英语平均 ≥70 分 大一大二英语平均﹤ 70 分 文科 理科 总的
本文获得中央高校基本科研业务费的资助， 以及北京市大学生科学研究与创业行动计划，中国矿业大学（ 北京） 大 “概率论与数理统计” 学生创新性计划，和中国矿业大学（ 北京） 理科 课程建设的资助 收稿日期： 2012 年 1 月 30 日
＊
100
数学理论与应用
的因素． 具体来说， 我们考察了本校 2005 级 876 名本科生， 将原始数据整理得到下表．
假设， 大一大二四学期英语水平不同的人 CET － 4 成绩存在显著差异．
* T［ 同理考虑第三个假设检验问题由程序得数据 T = 34． 5093 ， B·（ 1 － α ） ］ = 21． 6370． 所以文 、
理科大学生 CET － 4 成绩也存在差异． 2． 2 T 检验
通过过去大量的抽样试验和研究表明 ， 在一些大中小学学校的学生成绩分布符合正态分 在 σ1 ， σ2 未知的情况下， 我们假设两个样本的方差 布． 由上一种检验法知两个样本相互独立 ，
1
引言
英语的重要性众所周知， 英语四级（ CET － 4 ） 成绩是衡量大学生英语水平的一把尺子． 根 据现状以及对 CET － 4 的了解，主观认为推断影响 CET － 4 的因素可能有： 1 ） 学生高考英语 成绩； 2 ） 学生大一大二英语学习成绩． 本文以本校 2005 级本科生为调查对象，使用统计的方法来考察影响大学生 CET － 4 成绩
Y 组合得一新向量 Z ， Z2 = X2 ， …， Zm = Xm ， Z m + 1 = Y1 ， Z m + 2 = Y2 … ， 2． 由 X 、 其中 Z1 = X1 ， Z m +n = Y n
* 珔 3． 从 Z1 ， Z2 ， …， Z m +n 中抽取 Bootstrap 样本， 由得到的均值记为 X 的均值， 由得到的均值
Y 的均值， 记为 珔 两者之差的绝对值记为 T
*
*
=
* * 珔 珔 ． X －Y
* 4． 重复第 3 步 B = 2000 次， b = 1， …， B， 得到 B 个 T b ， 排序得到；
统计方法在大学英语四级成绩分析中的应用
* 5． 对给定显著性水平 α = 0 ． 05 ， 比较 T = 15 ． 2670 与 T［B·（ 1 － α） ］ = 8 ． 1238 的大小．
101
* 由于 T ＞ T［B·（ 1 － α） ］， 则拒绝原假设， 即认为两者有差别； 由此得到的结论是： 来自城市和农
村的大学生 CET － 4 成绩存在差异．
* T［ 同理考虑第二个假设检验问题， 由程序得数据 T = 51． 6569 ， B · （ 1 －α ） ］ = 8． 6429． 故拒绝原
第 32 卷 第 1 期 2012 年 3 月
数学理论与应用 MATHEMATICAL THEORY AND APPLICATIONS
Vol． 32 No． 1 Mar． 2012
统计方法在大学英语四级成绩分析中的应用
李再兴 胡 杰 史小凯 赵颖旺 范文凤 黄 （ 中国矿业大学， 100083 ） 北京， 丹 景 平
2 2 2 建立如下假设： 相等即 σ1 = σ2 = σ ，
H0 ： μ1 － μ2 = 0 vs H1 ： μ1 － μ2 ≠ 0 t 检验统计量 t =
2 （ m － 1 ） s2 （ x － y） x + （ n － 1） sy ，其中 s2 = w m +n －2 1 1 + sw m n
回归结果
回归方程
y1 = － 89 ． 27 + 1 ． 011 x1 + 1 ． 261 x2 + 1 ． 189 x3 + 1 ． 190 x4 + 2 ． 232 x5 y2 = － 66 ． 049 + 0 ． 560 x1 + 0 ． 933 x2 + 1 ． 260 x3 + 1 ． 688 x4 + 2 ． 355 x5 y3 = － 179 ． 587 + 0 ． 911 x1 + 1 ． 593 x2 + 1 ． 425 x3 + 1 ． 486 x4 + 2 ． 643 x5 y4 = 72 ． 836 + 0 ． 684 x1 + 1 ． 121 x2 + 0 ． 827 x3 + 0 ． 458 x4 + 1 ． 470 x5 y5 = － 108 ． 051 + 0 ． 672 x1 + 1 ． 754 x2 + 1 ． 706 x3 + 0 ． 481 x4 + 2 ． 675 x5 y6 = － 48 ． 616 + 1 ． 009 x1 + 1 ． 277 x2 + 0 ． 291 x3 + 2 ． 596 x4 + 1 ． 199 x5 y = － 77 ． 635 + 0 ． 773 x1 + 1 ． 094 x2 + 1 ． 225 x3 + 1 ． 430 x4 + 2 ． 323 x5
槡
从而检验问题的拒绝域为
α （ m + n － 2） ｝ W = ｛ t ≥ t1 － 2
选定显著水平 α = 0． 05 ， 对所做的问题进行检验， 结果如下： 来自城市和农村的大学生 CET － 4 成绩存在差异； 大一大二四学期英语水平不同的人 CET － 4 成绩存在显著差异； 文、 理科大学生 CET － 4 成绩也存在差异．