消法矩阵
0 1 0 0 0 1 0 k 0 0 1 0 0 0 1 0
下页
1 0 E= 0 0 1 0 E= 0 0
《线性代数》
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
r2+kr4
———→
1 0 0 0 1 0 0 0
0 k =E = r(2,4(k)) 0 1 0 0 =Ec(2,4(k)) 0 1
1 5 −1 −1 1 −2 1 3 3 8 −1 1 1 −9 3 7
《线性代数》
r2↔r4
———→
1 5 −1 −1 1 −9 3 7 3 8 −1 1 1 −2 1 3
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 初等变换. 定义 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 (1)交换矩阵的某两行 列)； ----换法变换 交换矩阵的某两行(列 ； 交换矩阵的某两行 换法变换 (2)以数 ≠0乘矩阵的某一行 列)； ----倍法变换 以数k≠ 乘矩阵的某一行 乘矩阵的某一行(列 ； 以数 倍法变换 (3)把矩阵的某一行 列)的k倍加到另一行 列)上. .----消法变换 把矩阵的某一行(列 的 倍加到另一行 倍加到另一行(列 上 把矩阵的某一行 消法变换 交换第i列与第j列记为ci↔cj . 例如
1 5 −1 −1 1 −2 1 3 3 8 −1 1 1 −9 3 7
《线性代数》
r3−3r1
———→
1 5 −1 −1 1 −2 1 3 0 −7 2 4 1 −9 3 7
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 初等变换. 定义 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 (1)交换矩阵的某两行 列)； ----换法变换 交换矩阵的某两行(列 ； 交换矩阵的某两行 换法变换 (2)以数 ≠0乘矩阵的某一行 列)； ----倍法变换 以数k≠ 乘矩阵的某一行 乘矩阵的某一行(列 ； 以数 倍法变换 (3)把矩阵的某一行 列)的k倍加到另一行 列)上.----消法变换 把矩阵的某一行(列 的 倍加到另一行 倍加到另一行(列 上 把矩阵的某一行 消法变换 第i列的k倍加到第j列记为cj+kci . 例如
1 5 −1 −1 1 −2 1 3 3 8 −1 1 1 −9 3 7
《线性代数》
c3+c1
———→
1 5 1 −2 3 8 1 −9
下页
0 −1 2 3 2 1 4 7
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6.2 初等矩阵 1.定义 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵） 初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 下面是几个4阶初等矩阵 阶初等矩阵： 例: 下面是几个 阶初等矩阵：
结束
0 0 4 c3 ———→ 0 1
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6.2 初等矩阵 1.定义 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵） 初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 下面是几个4阶初等矩阵 阶初等矩阵： 例: 下面是几个 阶初等矩阵：
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定理1 是一个m× 矩阵 矩阵， 施行一次初等行变换相当于在A 定理 设A是一个 ×n矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在 是一个 施行一次初等行变换相当于在 的左边乘以相应的m阶初等矩阵 阶初等矩阵； 施行一次初等列变换相当于在A 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在 施行一次初等列变换相当于在 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 的右边乘以相应的 阶初等矩阵
第6节 初等变换与逆矩阵的初等变换求法
一、初等变换 二、初等矩阵
初等矩阵的作用、 初等矩阵的作用、初等矩阵的可逆性
三、求逆矩阵的初等行变换法
注意： 注意：第6-7节与教材内容及次序有所不同,请作笔记. 节与教材内容及次序有所不同,请作笔记.
《线性代数》
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 初等变换. 定义 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 (1)交换矩阵的某两行 列)； ----换法变换 交换矩阵的某两行(列 ； 交换矩阵的某两行 换法变换 (2)以数 ≠0乘矩阵的某一行 列)； ----倍法变换 以数k≠ 乘矩阵的某一行 乘矩阵的某一行(列 ； 以数 倍法变换 (3)把矩阵的某一行 列)的k倍加到另一行 列)上. .----消法变换 把矩阵的某一行(列 的 倍加到另一行 倍加到另一行(列 上 把矩阵的某一行 消法变换 交换第i行与第 行记为 i↔rj . 交换第 行与第j行记为 行与第 行记为r 例如
1 5 −1 −1 1 −2 1 3 3 8 −1 1 1 −9 3 7
《线性代数》
c1↔c3
———→
−1 5 1 −2 −1 8 3 −9
下页
1 −1 1 3 3 1 1 7
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 初等变换. 定义 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 (1)交换矩阵的某两行 列)； ----换法变换 交换矩阵的某两行(列 ； 交换矩阵的某两行 换法变换 (2)以数 ≠0乘矩阵的某一行 列)； ----倍法变换 以数k≠ 乘矩阵的某一行 乘矩阵的某一行(列 ； 以数 倍法变换 (3)把矩阵的某一行 列)的k倍加到另一行 列)上. .----消法变换 把矩阵的某一行(列 的 倍加到另一行 倍加到另一行(列 上 把矩阵的某一行 消法变换 用数k乘以第i行记为kri . 例如
a21 a22 a23 a24
a11 a12 a13 a14 a31 a32 a33 a34
0 1 0 0 a11 a12 a13 a14 1 0 0 0 AE(1, 2)= a21 a22 a23 a24 = a a a a 0 0 1 0 31 32 33 34 0 0 0 1
倍法矩阵
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0
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1 0 = E= 0 0 1 0 E= 0 0
《线性代数》
0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
4 r3
———→
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 =E(3(4)) = 0 1 0 0 =E(3(4)) 0 1
结束
0 0 c2↔c4 ———→ 0 1
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6.2 初等矩阵 1.定义 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵） 初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 下面是几个4阶初等矩阵 阶初等矩阵： 例: 下面是几个 阶初等矩阵：
1 5 −1 −1 1 −2 1 3 3 8 −1 1 1 −9 3 7
《线性代数》
4c3
———→
1 5 −4 −1 1 −2 4 3 3 8 −4 1 1 −9 12 7
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6.1 初等变换
定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 初等变换. 定义 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换 (1)交换矩阵的某两行 列)； ----换法变换 交换矩阵的某两行(列 ； 交换矩阵的某两行 换法变换 (2)以数 ≠0乘矩阵的某一行 列)； ----倍法变换 以数k≠ 乘矩阵的某一行 乘矩阵的某一行(列 ； 以数 倍法变换 (3)把矩阵的某一行 列)的k倍加到另一行 列)上. .----消法变换 把矩阵的某一行(列 的 倍加到另一行 倍加到另一行(列 上 把矩阵的某一行 消法变换 第i行的k倍加到第j行记为rj+kri . 例如
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对矩阵A作初等变换可以转化 对矩阵 作初等变换可以转化 为初等矩阵与矩阵A的乘积 为初等矩阵与矩阵 的乘积. 的乘积
a11 + 2a31 a12 + 2a32 a13 + 2a33 a14 + 2a34
a11 a12 a13 a14 例如，设 例如 设 A = a21 a22 a23 a24 a a a a 31 32 33 34 0 1 0 a11 a12 a13 a14 E(1, 2)A= 1 0 0 a21 a22 a23 a24 = 0 0 1 a a a a 31 32 33 34
换法矩阵
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0
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1 0 = E= 0 0 1 0 E= 0 0
《线性代数》
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1
r2↔r4
———→
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 =E(2, 4) = 0 0 0 1 =E(2, 4) 0 0
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a12 a11 a13 a14 a22 a21 a23 a24
a32 a31 a33 a34
与交换A的第一行 列 与第二行 与第二行(列 所得结果相同 所得结果相同. 与交换 的第一行(列)与第二行 列)所得结果相同 的第一行
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定理1 是一个m× 矩阵 矩阵， 施行一次初等行变换相当于在A 定理 设A是一个 ×n矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在 是一个 施行一次初等行变换相当于在 的左边乘以相应的m阶初等矩阵 阶初等矩阵； 施行一次初等列变换相当于在A 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在 施行一次初等列变换相当于在 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 的右边乘以相应的 阶初等矩阵