证明：因为 ，所以，对任意 ，有
，
。
又由 （ ）得， 。所以，
，即 （ ）。
12、证明： 上的连续函数必为可测函数。
证明：设 是 上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数 ， 是开集，从而是可测集。所以， 是 上的可测函数。
13、证明： 上的单调函数必为可测函数。
证明：不妨设 是 上的单调递增函数，对任意实数 ，记 ，由单调函数的特点得，当 时， ，显然是可测集；当 时， ，也显然是可测集。故 是 上的可测函数。
现将 等分，记分点为 ，使得每一等份的长度小于 。易得 ，即 是 上的有界变差函数。又 ，
所以， ，即 是 上的有界变差函数。
20、若 是 上的有界变差函数，则
（1）全变差函数 是 上的递增函数；
（2） 也是 上的递增函数。
证明：（1）对任意 ， ，注意到 ，有
，
即 是 上的递增函数。
（2）对任意 ， ，注意到 ，有
证明：记 ，由于 在 上连续，故对任意实数 是直线上的开集，设 ，其中 是其构成区间（可能是有限个， 可能为 可有为 ）因此 因为 在 上可测，因此 都可测。故 可测。
3、设 是 上的实值连续函数，则对于任意常数 ， 是一开集，而 总是一闭集。
证明：若 ，因为 是连续的，所以存在 ，使任意 ，
，即任意 是开集若 且 ，由于 连续， ，
证明：由 得，（1） 。（2）由（1），注意到 ，由积分的绝对连续性得， ，从而注意到
，
所以， 。
17、若 是 上的单调函数，则 是 上的有界变差函数，且
。
证明：不妨设 是 上的单调增函数，任取 的一个分割
则
，
所以， 。
18、若 在 上满足：存在正常数 ，使得对任意 ，都有
，
则（1） 是 上的有界变差函数，且 ；
5、设 是E上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。
证：显然， 的收敛点集可表示为
= .
由 可测 及 都可测，所以 在 上可测。
从而，对任一自然数 ， 可测。故
可测。既然收敛点集 可测，那么发散点集 也可测。
6、设 ，存在两侧两列可测集{ }，{ },使得 且 （ - ）→0，（n→∝）则 可测.
，
即 是 上的递增函数。
21、证明Jordan分解定理： 是 上的有界变差函数 可表示成 上的两个增函数之差。
证明：“充分性”显然成立。下证“必要性”。
事实上， ，由上题 和 都是 上的递增函数。
14、设 ， 是 的可测子集，且 ，若 ，则 。
证明：因为 是 的可测子集，且 ，所以， ，从而由 得， 。又 ，由积分的绝对连续性， 。
15、设 ，若对任意有界可测函数 都有 ，则 于 。
证明：由题设，取 ，显然 为 上的有界可测函数，从而 。所以， 于 ，即 于 。
16、设 ， ，证明（1） ；（2） 。
（2） 是 上的绝对连续函数。
证明：（1）由题设，任取 的一个分割
则
，
所以， 是 上的有界变差函数，且 。
（2）在 ，任取有限个互不相交的开区间 ， 。由于
，
于是，对任意 ，取 ，则当 时，有
，
即 是 上的绝对连续函数。
证明：由 是 上的绝对连续函数，取 ，存在 ，对任意有限个互不相交的开区间 ， ，只要 时，有 。
即 ，因此E是闭集。
4、（1）设 求出集列 的上限集和下限集
证明： 设 ，则存在N，使 ，因此 时， ，即 ，所以 属于下标比N大的一切偶指标集，从而 属于无限多 ，得 ，
又显然 若有 ，则存在N，使任意 ，有 ，因此若 时，
，此不可能，所以
（2）可数点集的外测度为零。
证明：证明：设 对任意 ，存在开区间 ，使 ，且 所以 ，且 ，由 的任意性得
1、设 有限的可测函数，证明：存在定义在 上的一列连续函数 ，使得 于E。
证明：因为 在 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数 ，存在 的可测子集 ，使得 ，同时存在定义在 上的连续函数 ，使得当 时，有 所以对任意的 ，成立 由此可得 ，因此 即 ，由黎斯定理存在 的子列 ，使得 ， 于E
2、设 上的连续函数， 为 上的可测函数，则 是可测函数。
证明：对于任意 ， ，所以
又因为 ，
所以对于任意 ，
令 →∝，由 →0得 所以 是可测的又由于 可测，有 也是可测的所以 是可测的。
7、设在 上 ，而 成立， ，则有
设 ，则 。
所以
因为 ，所以
即
8、证明： 。
证明：因为 ， ，所以， ， ，从而
反之，对任意 ，即对任意 ，有
为无限集，
从而 为无限集或 为无限集至少有一个成立，即 或 ，所以， ， 。综上所述， 。
9、证明：若 ， （ ），则 于 。
证明：由于 ，而
，
所以，
，
由 ， （ ）得
， 。
所以， ，从而 ，即 于 。
10、、证明：若 ， （ ），则 （ ）。
证明：对任意 ，由于
，
所以，由 可得，
和 至少有一个成立。
从而
，
所以，
。
又由 ， （ ）得，
， 。
所以，
，即 （ ）。
11、若 （ ），则 （ ）。