它实际上是电荷守恒定律的一种数学表述。
恒定电流:
导体内各处电流密度
r J
不随时间变化的电流称
为恒定电流或直流电。
∫ 对任一封闭面：
r J
⋅
d
sr
=
−
d
q内
s
dt
电流恒定 J不变
d q内 = 0 dt
运动的电荷空间分布不变
即
∫
r J
⋅
d
sr
=
0
s
……这称为“恒定条件”
对于恒定电流：通过任意闭合曲面一侧流入 的电流,必然等于另一侧流出的电流
r1 2π rL 2π L r1
单位长度漏电阻 R ' = ρ ln r2 2π r1
r1
r2
L
dr
r2 r
r1
I = U = U 2π L R ρ ln( r2 / r1 )
J=I = I = U S 2πrL rρ ln(r2 / r1 )
E= j =
U
σ σrρ ln(r2 / r1 )
r1
r2
rr
L
∫
J ⋅dl σ
=∫
JS d l σS
=I∫
dl σS
=I(R
+
r)
ε =I(R+r)
L
L
L
全电路欧姆定律
ε = I( R + r ) = U + Ir
U — 电源的端电压
二 . 有多个回路的电路 沿闭合回路一周的电势
. I2
R1
I1
ε2 , r2
降落的代数和等于零。 即绕回路一周应回到原 来的电势。
∴ dN =dI
d S⊥
dS⊥
j
电流线
dN
对于一个封闭面S:
d sr r J
q
S
净流出封闭面的电流为：
I
=
∫
r J
⋅d
sr
s
即单位时间内从封闭曲面向外流 出的正电荷的电量
根据电荷守恒定律，单位时间净流出封闭面的电量等于 单位时间内封闭面内减少的电量，所以
∫r
J
⋅
d
sr
=
−
d
q内
s
dt
……电流的“连续性方程”
无限长均匀带电柱体
E=
λ
2πε or λr
2πε o R 2
(r > R) (r ≤ R)
E= ρ r 3ε 0
线，柱面
反映静电场基本性质的两个定理： 积分形式
微分形式
∫ 高斯定理：
Φe =
r E
r ⋅ dS
=
Q಺
S
ε0
∫ 场强环路定理： Er ⋅ drr = 0 L
r ∇⋅E =
1
ρ
ε0
有源场
∇
×
⊕
⊕ R
⊕⊕ ⊕
⊕ ⊕
⊕
O ⊕r′r ⊕ ⊕ ⊕
r PE
s
源球对称
场球对称
∫ r > R
Φ=
r E
⋅
r dS
=
E ⋅ 4π r 2
S
Φ= Q ε0
E= Q 4πε 0r 2
r<R
Φ = Q内 = 0 ε0
E=0
计算场强的三种方法 由点电荷及场强叠加原理计算场强 由高斯定理计算 球对称,轴对称,面对称.
Up =
∞q dr
rp 4 π ε0r 2
U外
=
q 4 πε0r
∫ ∫ ∫ （2）内: r <R
U=
(∞) r r E⋅dl
=
(R) r r E⋅dl +
(∞) r r E⋅dl
( P)
(P)
(R)
∫∞
=0+
q
dr
R 4πε0r2
U内=
4
q πε0R
3
六、静电场中的导体
静电平衡 —— 导体各处均无电子作宏观定向运动。
电场强度的计算： 由场强公式求点电荷的场强
େখ
E
=
q 4πεor 2
由场强叠加原理可以求出点电荷系和连续带电体的场强
例：求总电量q、半径R 的均匀带电圆环轴线上的场强。
dq
R
o
r
p dE∥ x
x
θ dE⊥ dE
∫ ∫ E =
dE
= λx 4πε0 r 3
2 πR
dl
0
dE//
=
dq 4πεo r 2
一、电流和电流密度
电流：是导体中带电粒子（自由电子或 正负离子， 统称“载 流子”）的定向流动。
形成电流的条件：有可以自由移动的电荷；存在电场。
规定:正电荷流动的方向为电流的方向。
电流强度（电流）：单位时间内通过任一截面的电量称为 通过该截面的电流强度，用 I 表示。
I
I = d q 单位：安培 A （标量）
∫ U = d q = Q
(q) 4 πε0r 4 πε0r
所以
( ) U =
4πε0
Q R2 + x2 1/2
例 2.求电量为 q(设 q >0)的均匀带电球面的电势分布。
q
R 0
rr
P
∫ ∞
⎧q
E
=
⎪ ⎨
4πε
0r
2
(r > R) U =
0势 Er ⋅ drr
⎪⎩0 (r < R)
r
∫ （1）外: r >R
解：（1）在介质中取半径为r厚度
为dr的薄球壳，其电阻为：
dR
=
ρ
dr 4π r 2
∫ R = ρ r2 dr = ρ ( r2 − r1 )
r1 4π r 2
4π r1r2
dr r r2 r1
（2）由欧姆定律
I = U = 4π r1r2U R ρ( r2 − r1 )
J
=
I S
=
I 4πr2
= r1r2U ρ( r2 −r1 )r2
F = K q1q2 r2
库仑定律在电学中的地位相当于力学中的牛顿第二定律，
由它可以推导出所有静电场（电学）的规律。
∑ 二、静电力的叠加原理
r F
=
r Fi
三、电场强度
v E
=
v F
q0
i
某点场强等于单位正电荷在 该点所受的电场力
∑ 四、场强叠加原理
r E
=
r Ei
i
某点的电场强度等于所有带电 体在该处激发场强的矢量和
恒定电流：
流入＝流出
J S=J S, ⇒J =J
1
2
12
电场：
J1
J2
σ1
σ2
σ1 >σ2
σ E =σ E , 11 2 2
σ >σ , E < E 1 21 2
电场在界面不连续， 界面上有电荷积累。
例:半径为r1 和r2 的心导体球壳之间充满电阻率为ρ的介质。 （1）计算两球壳之间的电阻
（2）设两球壳间的电势差为U，求在任意半径r处的电流密度。
例:圆柱形电容器，长为L，内外极板半径为r1 、r2 ，两 极板间充满非理想电介质，其电阻率为ρ，两极间加电
压U，求（1）介质的漏电阻R；（2）漏电流I；（3）漏
电流密度；（4）介质内各点的场强。
解：（1）在介质中取半径为r厚度 为dr的薄球壳，其电阻为：
dR
=
ρ
dr ds
=
ρ
dr 2π rL
∫ R = ρ r2 dr = ρ ln r2
静电场的能量密度
we
=
DE 2
= ε E2 2
均匀电场能量
We
=
ε 2
E 2V
非均匀电场
dw = wedv
电容器中的静电能
We
=
∫∫∫V
ε 2
E 2dv
We
=
Q2 2C
= CU 2 = QU
2
2
7.8 恒定电流 恒定电场
电流和电流密度 恒定电流与恒定电场 欧姆定律和电阻 电动势 有电动势的电路 (不要求)
注意：电动势和电势异同：
单位都是伏特，定义都是与作功联系在一起的；
电动势是非静电力的功，由电源自身性质决定，与外电路中
是否有电流无关 电势一个是静电力的功，与外电路有关。
四、含源电路（含有电动势的电路）
一 . 简单闭合回路
当非静电力和静电力同时存在时，恒定电流的电流密度J
ε
∫ ∫ ∫ ∫ +应_ r由I 非静R电场UEk和恒静L定电Er电r⋅场d场Elr服决= 从rLrj定=环σ，rj σ⋅路d此(定lr时Er−理欧+L 姆EErrKK定⋅LdE)r律lr⋅ d=为lr0：= 0 ε ∫ E K ⋅d l = 总电动势
σ = 1 电导率（单位:1/Ωm) ρ
西门子每米 单位：S/m
U ab = E l I = El = Eσ S
r j
∥
r E
R
r j
=
σ
r E
I = jS
欧姆定律微分形式
（点点对应）
上式对非均匀导体，非稳恒电流也成立。
1
【例】在恒定电路中两柱状金属导体相接。比较交界面 两侧电流密度和电场的大小。
dt
大块导体
对细导线用电流强度的概念就够了。
对大块导体，为描写导体内每一点的电
＋－
流情况，还需引入“电流密度矢量”
电流密度： P 点的电流密度
数值：单位时间通过该点垂直于电荷运动方向的单位面积的电量。