第四部分 中考专题突破 专题一 整体思想1.(2011年江苏盐城)已知a －b ＝1，则代数式2a －2b －3的值是( A ) A ．－1 B ．1 C ．－5 D ．52．(2011年浙江杭州)当x ＝－7时，代数式(2x ＋5)(x ＋1)－(x －3)(x ＋1)的值为－6. 3．(2011年山东威海)分解因式：16－8(x －y )＋(x －y )2＝(x －y －4)2.4．(2010年湖北鄂州)已知α、β是方程x 2－4x －3＝0的两个实数根，则(α－3)(β－3)＝－6. 5．(2011年山东潍坊)分解因式：a 3＋a 2－a －1＝(a ＋1)2(a －1)．6．(2010年江苏镇江)分解因式：a 2－3a ＝a (a －3)；化简：(x ＋1)2－x 2＝2x ＋1.7．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一共需5元．解析：设铅笔每支x 元， 日记本y 元，圆珠笔z 元，有：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋2z ＝10 ①9x ＋7y ＋5z ＝25 ②， ②－①得：5x ＋4y ＋3z ＝15 ③， ③－①得：x ＋y ＋z ＝5.8．如图X －1－2，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点O ，其直径CD 、EF 均和x 轴垂直，以点O 为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和点D 、F ，则图中阴影部分的面积是π2.图X －1－29．(2010年重庆)含有同种果蔬汁但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克．现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合，如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是24千克．解析：设A 果蔬的浓度为x ，B 果蔬的浓度为y ，且倒出部分的重量为a ，有： (40－a )x ＋ay 40＝(60－a )y ＋ax60，3(40－a )x ＋3ay ＝2(60－a )y ＋2ax ， 120x －3ax ＋3ay ＝120y －2ay ＋2ax ， 120x －120y ＝5ax －5ay ， 120(x －y )＝5a (x －y )， 解得：a ＝24.10．(2011年江苏宿迁)已知实数a 、b 满足ab ＝1，a ＋b ＝2，求代数式a 2b ＋ab 2的值． 解：原式＝ab (a ＋b )＝1×2＝2.11．(2010年福建南安)已知y ＋2x ＝1，求代数式(y ＋1)2－(y 2－4x )的值． 解：原式＝y 2＋2y ＋1－y 2＋4x ＝2y ＋4x ＋1 ＝2(y ＋2x )＋1 ＝2×1＋1＝3.12．(2010年江苏苏州)解方程：(x －1)2x 2－x －1x －2＝0.解：方法一：去分母，得(x －1)2－x (x －1)－2x 2＝0.化简，得2x 2＋x －1＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝12.经检验，x 1＝－1，x 2＝12是原方程的解．方法二：令x －1x ＝t ，则原方程可化为t 2－t －2＝0，解得t 1＝2，t 2＝－1.当t ＝2时，x －1x ＝2，解得x ＝－1.当t ＝－1时，x －1x ＝－1，解得x ＝12.经检验，x ＝－1，x ＝12是原方程的解．13．(2011年四川南充)关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋k ＋1＝0的实数解是x 1和x 2. (1)求k 的取值范围；(2)如果x 1＋x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值． 解：(1)∵方程有实数根， ∴Δ＝22－4(k ＋1)≥0， 解得：k ≤0，∴k 的取值范围是k ≤0.(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝k ＋1， x 1＋x 2－x 1x 2＝－2－(k ＋1)，由已知，－2－(k ＋1)＜－1，解得k ＞－2，又由(1)知k≤0，∴－2＜k≤0，又∵k为整数，∴k的值为－1和0.14．阅读材料，解答问题．为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0.我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0①.解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，x＝±2；当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±5.∴x1＝2，x2＝－2，x3＝5，x4＝－ 5.解答问题：(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体思想的数学思想；(2)用上述方法解方程：x4－x2－6＝0.解：(2)设x2＝y，则原方程化为：y2－y－6＝0.解得：y1＝3，y2＝－2.当y＝3时，x2＝3，解得x＝±3；当y＝－2时，x2＝－2，无解．∴x1＝3，x2＝－ 3.专题二 分类讨论思想1.已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为9 cm ，⊙O 2的半径为2 cm ，则O 1O 2的长是( C ) A ．11 cm B ．7 cm C ．11 cm 或7 cm D ．5 cm 或7 cm2．已知一个等腰三角形腰上的高与腰长之比为1∶2，则这个等腰三角形顶角的度数为( D ) A ．30° B ．150° C ．60°或120° D ．30°或150° 3．(2011年贵州贵阳)如图X －2－1，反比例函数y 1＝k 1x 和正比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A (－1，－3)，B (1,3)两点，若k 1x＞k 2x ，则x 的取值范围是( C )图X －2－1A ．－1＜x ＜0B ．－1＜x ＜1C ．x ＜－1或0＜x ＜1D ．－1＜x ＜0或x ＞1 4．(2011年甘肃兰州)如图X －2－2，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数y ＝k 2＋2k ＋1x 的图象上．若点A 的坐标为(－2，－2)，则k 的值为( D )图X －2－2A ．1B ．－3C ．4D ．1或－35．(2011年山东枣庄)如图X －2－3，函数y 1＝|x |和y 2＝13x ＋43的图象相交于(－1,1)，(2,2)两点．当y 1>y 2时，x 的取值范围是( D )图X －2－3A ．x ＜－1B ．－1＜x ＜2C ．x ＞2D ．x ＜－1或x ＞26．(2011年山东济宁)如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm 和6 cm ，那么此三角形的周长是( D )A ．15 cmB ．16 cmC ．17 cmD ．16 cm 或17 cm7．(2011年四川南充)过反比例函数y ＝kx (k ≠0)图象上一点A ，分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为B 、C ，如果△ABC 的面积为3.则k 的值为6或－6.8．(2010年贵州毕节)三角形的每条边的长都是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则三角形的周长是6或10或12.9．(2011年浙江杭州)在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为3＋12或3－12. 10．一次函数y ＝kx ＋k 过点(1,4)，且分别与x 轴、y 轴交于A 、B 点，点P (a,0)在x 轴正半轴上运动，点Q (0，b )在y 轴正半轴上运动，且PQ ⊥AB .(1)求k 的值，并在直角坐标系中(图X －2－4)画出一次函数的图象； (2)求a 、b 满足的等量关系式；(3)若△APQ 是等腰三角形，求△APQ 的面积．图X －2－4解：(1)∵ 一次函数y ＝kx ＋k 的图象经过点(1,4)， ∴ 4＝k ×1＋k ，即k ＝2.∴ y ＝2x ＋2. 当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝－1. 即A (－1,0)，B (0,2)．如图D56，直线AB 是一次函数y ＝2x ＋2的图象.图D56(2)∵ PQ ⊥AB ，∴ ∠QPO ＝90°－∠BAO . 又∵∠ABO ＝90°－∠BAO ，∴ ∠ABO ＝∠QPO .∴Rt △ABO ∽Rt △QPO .∴AO QO ＝OB OP ，即1b ＝2a. ∴a ＝2b .(3)由(2)知a ＝2b .∴AP ＝AO ＋OP ＝1＋a ＝1＋2b ， AQ 2＝OA 2＋OQ 2＝1＋b 2，PQ 2＝OP 2＋OQ 2＝a 2＋b 2＝(2b )2＋b 2＝5b 2.若AP ＝AQ ，即AP 2＝AQ 2，则(1＋2b )2＝1＋b 2， 即b ＝0或－43，这与b >0矛盾，故舍去；若AQ ＝PQ ，即AQ 2＝PQ 2，则1＋b 2＝5b 2， 即b ＝12或－12(舍去)，此时，AP ＝2，OQ ＝12，S △A PQ ＝12×AP ×OQ ＝12×2×12＝12.若AP ＝PQ ，则1＋2b ＝5b ，即b ＝2＋ 5.此时AP ＝1＋2b ＝5＋2 5，OQ ＝2＋ 5. S △APQ ＝12×AP ×OQ ＝12×(5＋2 5)×(2＋5)＝10＋925.∴ △APQ 的面积为12或10＋925.11．(2011年浙江绍兴)在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图X －2－5中过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是和谐点．(1)判断点M (1,2)，N (4,4)是否为和谐点，并说明理由；(2)若和谐点P (a,3)在直线y ＝－x ＋b (b 为常数)上，求点a 、b 的值．图X －2－5解：(1)∵1×2≠2×(1＋2)，4×4＝2×(4＋4)， ∴点M 不是和谐点，点N 是和谐点． (2)由题意得，当a >0时，(a ＋3)×2＝3a ，∴a ＝6，点P (a,3)在直线y ＝－x ＋b 上，代入得b ＝9； 当a <0时，(－a ＋3)×2＝－3a ，∴a ＝－6，点P (a,3)在直线y ＝－x ＋b 上， 代入得b ＝－3.∴a ＝6，b ＝9或a ＝－6，b ＝－3.12．(2011年湖北襄阳)为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客．门票定价为50元/人，非节假日打a 折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m 人以下(含m 人)的团队按原价售票；超过m 人的团队，其中m 人仍按原价售票，超过m 人部分的游客打b 折售票．设某旅游团人数为x 人，非节假日购票款为y 1(元)，节假日购票款为y 2(元)．y 1、y 2与x 之间的函数图象如图X －2－6所示．(1)观察图象可知：a ＝6；b ＝8；m ＝10； (2)直接写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；(3)某旅行社导游王娜于5月1日带A 团，5月20日(非节假日)带B 团都到该景区旅游，共付门票款1 900元，A 、B 两个团合计50人，求A 、B 两个团队各有多少人？图X －2－6解：(2)y 1＝30x ；y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧50x (0≤x ≤10)40x ＋100(x >10).(3)设A 团有n 人，则B 团有(50－n )人． 当0≤n ≤10时，50n ＋30(50－n )＝1 900， 解之，得n ＝20，这与n ≤10矛盾．当n ＞10时，40n ＋100＋30(50－n )＝1 900， 解之，得n ＝30， ∴50－30＝20.答：A 团有30人，B 团有20人．专题三数形结合思想1.(2011年安徽)如图X－3－1，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x 的函数图象的大致形状是( C )图X－3－12．(2011年山东威海)如图X－3－2，在正方形ABCD中，AB＝3 cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3 cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(秒)，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是( B )图X－3－23．(2011年甘肃兰州)如图X －3－3，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ，设小正方形EFGH 的面积为S ，AE 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是( B )图X －3－34．(2010年福建德化)已知：如图X －3－4，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一个动点(A 、C 除外)，作PE ⊥AB 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ，设正方形ABCD 的边长为x ，矩形PEBF 的周长为y ，在下列图象中，大致表示y 与x 之间的函数关系的是( A )图X －3－45．如图X －3－5，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B .点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1＝60°.下列结论错误的是( B )图X －3－5A ．MN ＝4 33B ．若MN 与⊙O 相切，则AM ＝32C ．若∠MON ＝90°，则MN 与⊙O 相切D ．l 1和l 2的距离为26．如图X －3－6，四边形OABC 为正方形，边长为6，点A 、C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点D 在OA 上，且D 点的坐标为(2,0)，P 是OB 上的一个动点，试求PD ＋P A 和的最小值是( A )图X －3－6A ．210 B.10 C ．4 D ．67．如图X －3－7，在圆心角为90°的扇形MNK 中，动点P 从点M 出发，沿MN →NK →KM 运动，最后回到点M 的位置．设点P 运动的路程为x ，P 与M 两点之间的距离为y ，其图象可能是( B )图X －3－78．(2011年江苏扬州)如图X －3－8，已知函数y ＝－3x 与y ＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋3x＝0的解为－3.图X －3－89．(2011年山东菏泽)如图X －3－9，抛物线y ＝12x 2＋bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A (－1,0)．图X －3－9(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)判断△ABC 的形状，证明你的结论；(3)点M (m,0)是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值． 解：(1)把点A (－1,0)的坐标代入抛物线的解析式y ＝12x 2＋bx －2，整理后解得b ＝－32，所以抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2.顶点D ⎝⎛⎭⎫32，－258. (2)∵AB ＝5，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20，∴AC 2＋BC 2＝AB 2.∴△ABC 是直角三角形． (3)作出点C 关于x 轴的对称点C ′， 则C ′ (0,2)，OC ′＝2. 连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC ＋MD 的值最小． 设抛物线的对称轴交x 轴于点E . △C ′OM ∽△DEM .∴OM EM ＝OC ′ED .∴m 32－m ＝2258.∴m ＝2441. 10．(2011年湖南邵阳)如图X －3－10，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A ⎝⎛⎭⎫－94，0，点C (0,3)，点B 是x 轴上的点(位于点A 右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过点C .图X －3－10(1)求∠ACB 的度数；(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；(3)线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：如图D57，(1)90°图D57(2)∵△AOC ∽△COB ， ∴AO CO ＝CO OB， 又∵A (－94，0)，点C (0,3)，∴ AO ＝94，OC ＝3，∴所以解得：OB ＝4，∴B (4,0)，把 A 、B 两点坐标代入解得： y ＝－13x 2＋712x ＋3.(3)存在．直线BC 的方程为3x ＋4y ＝12，设点D (x ，y )．①若BD ＝OD ，则点D 在OB 的中垂线上，点D 横坐标为2，纵坐标为32，即D 1(2，32)为所求．②若OB ＝BD ＝4，则y CO ＝BD BC ，x BO ＝CD BC ，得y ＝125，x ＝45，点D 2(45，125)为所求．11．(2011年广东汕头)如图X －3－11，抛物线y ＝－54x 2＋174x ＋1与y 轴交于点A ，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3,0)．图X －3－11(1)求直线AB 的函数关系式；(2)动点P 在线段OC 上，从原点O 出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作垂直于x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N .设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；(3)设(2)的条件下(不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况)，连接CM 、BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 的值，平行四边形BCMN 是否为菱形？说明理由．解：(1)把x ＝0代入y ＝－54x 2＋174x ＋1，得y ＝1，把x ＝3代入y ＝－54x 2＋174x ＋1，得y ＝52，∴A 、B 两点的坐标分别(0,1)，⎝⎛⎭⎫3，52， 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入A 、B 的坐标，得： ⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝13k ＋b ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＝12， ∴y ＝12x ＋1.(2)把x ＝t 分别代入到y ＝12x ＋1和y ＝－54x 2＋174x ＋1，分别得到点M 、N 的纵坐标为12t ＋1和－54t 2＋174t ＋1，∴MN ＝－54t 2＋174t ＋1－(12t ＋1)＝－54t 2＋154t ，即s ＝－54t 2＋154t ，∵点P 在线段OC 上移动，∴0≤t ≤3.(3)在四边形BCMN 中，∵BC ∥MN ，∴当BC ＝MN 时，四边形BCMN 即为平行四边形， 由－54t 2＋154t ＝52，得t 1＝1，t 2＝2，即当t ＝1或2时，四边形BCMN 为平行四边形 当t ＝1时，PC ＝2，PM ＝32，由勾股定理求得CM ＝52，此时BC ＝CM ＝MN ＝BN ，平行四边形BCMN 为菱形； 当t ＝2时，PC ＝1，PM ＝2，由勾股定理求得CM ＝5， 此时BC ≠CM ，平行四边形BCMN 不是菱形． ∴当t ＝1时，平行四边形BCMN 为菱形．专题四 归纳与猜想1.(2011年浙江)如图X －4－1，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”，图A 3比图A 2多出4个“树枝”，图A 4比图A 3多出8个“树枝”……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”的个数为( C )图X －4－1A ．28B ．56C ．60D ．1242．(2010年山东日照)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过如图X －4－2(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称如图X －4－2(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( D )图X －4－2A ．15B ．25C ．55D ．1 2253．(2011年内蒙古乌兰察布)将一些半径相同的小圆按如图X －4－3所示的规律摆放，请仔细观察，第n 个图形有n (n ＋1)＋4或n 2＋n ＋4个小圆(用含n 的代数式表示)．图X －4－34．(2011年湖南常德)先找规律，再填数：11＋12－1＝12，13＋14－12＝112，15＋16－13＝130，17＋18－14＝156， …… 则12 011＋12 012－11 006＝12 011×2 012. 5．(2010年辽宁丹东)如图X －4－4，已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是(2)n .图X －4－46．(2010年浙江嵊州)如图X －4－5，平面内有公共端点的六条射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7，…，则“17”在射线OE 上；“2 007”在射线OC 上．图X －4－57．(2011年四川绵阳)观察图X －4－6的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第15个图形共有120个．图X －4－68．(2011年广东湛江)已知：A 23＝3×2＝6，A 35＝5×4×3＝60，A 45＝5×4×3×2＝120，A 46＝6×5×4×3＝360…，观察前面的计算过程，寻找计算规律计算A 37＝210(直接写出计算结果)，并比较A 310<A 410(填“>”或“<”或“＝”)．9．(2011年山东济宁)观察下面的变形规律： 11×2＝1－12；12×3＝12－13；13×4＝13－14；……解答下面的问题： (1)若n 为正整数，请你猜想1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；(2)证明你猜想的结论； (3)求和：11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 009×2 010. 解：(2)证明：1n －1n ＋1＝n ＋1n (n ＋1)－n n (n ＋1)＝n ＋1－n n (n ＋1)＝1n (n ＋1).(3)原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 009－12 010＝1－12010＝2 0092 010.10．(2011年四川凉山州)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图X －4－7，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a ＋b )n (n 为正整数)的展开式(按a 的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1,2,1，恰好对应(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2展开式中的系数；第四行的四个数1,3,3,1，恰好对应着(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 2展开式中的系数等等．图X －4－7(1)根据上面的规律，写出(a ＋b )5的展开式；(2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1. 解：(1)()a ＋b 5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5.(2)原式＝25＋5×24×()－1＋10×23×()－12＋10×22×()－13＋5×2×()－14＋()－15 ＝(2－1)5 ＝1.11．(2010年浙江宁波)18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V )、面数(F )、棱数(E )之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型如图X －4－8，解答下列问题：图X －4－8(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体 顶点数(V )面数(F ) 棱数(E )四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体201230你发现顶点数(V )、面数(F )、棱数(E )之间存在的关系式是______________；(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x 个，八边形的个数为y 个，求x ＋y 的值．解：(1)四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V ＋F －E ＝2； (2)由题意得：F －8＋F －30＝2，解得F ＝20；(3)∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； ∴共有24×3÷2＝36条棱，那么24＋F －36＝2，解得F ＝14， ∴x ＋y ＝14.专题五 方案与设计1.现有球迷150人，欲同时租用A 、B 、C 三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A 、B 、C 三种型号客车载客量分别为50人、30人、10人，要求每辆车必须满载，其中A 型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有( B )A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种2．某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆．经了解，甲每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李．请问可行的租车方案有( C )A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种3．今年4月份，李大叔收获洋葱30吨，黄瓜13吨．现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这两种蔬菜全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装洋葱4吨和黄瓜1吨，一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各2吨．李大叔安排甲、乙两种货车时方案有( B )A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种4．(2011年四川广安)广安市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 860元的均价开盘销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？解：(1)设平均每次下调的百分率为x ，则 6 000(1－x )2＝4 860，得：x 1＝0.1，x 2＝1.9(舍去)． ∴平均每次下调的百分率10%.(2)方案①可优惠：4 860×100×(1－0.98)＝9 720元； 方案②可优惠：100×80＝8 000元． ∴方案①更优惠．5．(2011年山东枣庄)某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”，计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．(1)符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明(1)中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？解：(1)设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角为(30－x )个．由题意，得：⎩⎪⎨⎪⎧80x ＋30(30－x )≤1 90050x ＋60(30－x )≤1 620， 解这个不等式组，得18≤x ≤20.由于x 只能取整数，∴x 的取值是18,19,20. 当x ＝18时，30－x ＝12； 当x ＝19时，30－x ＝11； 当x ＝20时，30－x ＝10.故有三种组建方案：方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．(2)方案一的费用是：860×18＋570×12＝22 320(元)； 方案二的费用是：860×19＋570×11＝22 610(元)； 方案三的费用是：860×20＋570×10＝22 900(元)． 故方案一费用最低，最低费用是22 320元．6．(2011年贵州安顺)某班到毕业时共结余班费1 800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T 恤或一本影集作为纪念品．已知每件T 恤比每本影集贵9元，用200元恰好可以买到2件T 恤和5本影集．(1)求每件T 恤和每本影集的价格分别为多少元？ (2)有几种购买T 恤和影集的方案？解：(1)设T 恤和影集的价格分别为x 元和y 元．则⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝92x ＋5y ＝200，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35y ＝26. 答：T 恤和影集的价格分别为35元和26元． (2)设购买T 恤t 件，则购买影集(50－t )本，则 1 500≤35t ＋26(50－t )≤1 530，解得2009≤t ≤2309，∵为正整数，∴t ＝23,24,25，即有三种方案．第一种方案：购T 恤23件，影集27本； 第二种方案：购T 恤24件，影集26本； 第三种方案：购T 恤25件，影集25本．7．(2011年湖北鄂州)2011年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有A 、B 两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱．从A 地到甲地50千米，到乙地30千米；从B 地到甲地60千米，到乙地45千米．(1)设从A 水库调往甲地的水量为x 万吨，完成下表：调入地水量/万吨调出地甲 乙 总计A x 14B 14 总计151328(2)请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小(调运量＝调运水的重量×调运的距离，单位：万吨·千米)．解：(1)(从左至右，从上至下)14－x 15－x x －1 (2)y ＝50x ＋30(14－x )＋60(15－x )＋45(x －1) ＝5x ＋1 275，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥014－x ≥015－x ≥0x －1≥0解得：1≤x ≤14.对y ＝5x ＋1 275中，∵5>0，∴y 随x 增大而增大． ∴y 要最小时x 应最小为1.∴调运方案为A 往甲调1吨，往乙调13吨；B 往甲调14吨，不往乙调． 故调运量＝1×50＋30×13＋14×60＝1 280(万吨·千米)．8．(2011年湖北黄石)2011年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用水，某校数学教师编制了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：月用水量(吨) 单价(元/吨)不大于10吨部分 1.5 大于10吨且不大于m 吨部分(20≤m ≤50)2 大于m 吨部分3(1)若某用户6月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；(2)记该户6月份用水量为x 吨，缴纳水费y 元，试列出y 关于x 的函数式；(3)若该用户6月份用水量为40吨，缴纳水费y 元的取值范围为70≤y ≤90，试求m 的取值范围．解：(1)应缴纳消费：10×1.5＋(18－10)×2＝31(元)． (2)当0≤x ≤10时，y ＝1.5x ；当10<x ≤m 时，y ＝10×1.5＋2(x －10)＝2x －5； 当x >m 时，y ＝15＋2(m －10)＋3(x －m )＝3x －m －5.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.5x (0≤x ≤10)2x －5 (10<x ≤m )3x －m －5 (x >m ).(3)当40≤m ≤50时，y ＝2×40－5＝75(元)满足． 当20≤m <40时，y ＝3×40－m －5＝115－m ， 则70≤115－m ≤90，∴25≤m ≤90. 综上得，25≤m ≤40.9．(2011年重庆潼南)潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A 、B 两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的面积与总收入如下表：种植户 种植A 类蔬菜 面积(单位：亩)种植B 类蔬菜 面积(单位：亩)总收入 (单位：元) 甲 3 1 12 500 乙2316 500说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等． (1)求A 、B 两类蔬菜每亩平均收入各是多少元？(2)某种植户准备租20亩地用来种植A 、B 两类蔬菜，为了使总收入不低于63 000元，且种植A 类蔬菜的面积多于种植B 类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有租地方案．解：(1)设A 、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是x 元、y 元．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝12 5002x ＋3y ＝16 500，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3 000y ＝3 500.答：A 、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是3 000元，3 500元．(2)设用来种植A 类蔬菜的面积为a 亩，则用来种植B 类蔬菜的面积为(20－a )亩．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧3 000a ＋3 500(20－a )≥63 000a ＞20－a ，解得：10＜a ≤14.∵a 取整数为：11,12,13,14. ∴租地方案为：类别 种植面积 单位：(亩) A 11 12 13 14 B9876。