2.3 等比数列导学案(1)学习目标:1 .理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列; 2 ..掌握等比数列的通项公式并能简单应用;重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用 难点：等比数列通项公式的推导及应用。

一、温故知新什么叫等差数列？通项公式是什么?什么叫等差中项？二、探求新知1、研究下面三个数列并回答问题①1、2、4、8…；②1、-1、1、-1…③1、21-、41、81-…问题1：上面数列都是等差数列吗？问题2：以上数列后项与前项的比有何特点？2、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示。

3、等比数列的通项公式的推导过程 设等比数列{}n a ，的公比为q 方法1：（归纳法）,11a a =12a a = ，123a q a a == ，134a q a a == ，……11a q a a n n ==-方法2：（累乘法）根据等比数列的定义，可以得到=12a a ，=23a a ，=34a a，…，=-1n n a a .以上共有 等式，把以上 个等式左右两边分别相乘得=••••-1342312n n a a a a a a a a ，即=1a a n，即得到等比数列的通项公式。

4、等比数列的通项公式 =n a三、通过预习掌握的知识点1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 1︒ “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） 2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且 3︒ q= 1时，{a n }为常数。

2、等比数列的通项公式1: __________________________.3、等比数列的通项公式2:___________________________. 4.等比中项：若a.b.c 成等比数列。

则__________________.5、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列四、预习检查:1.判断下列数列是否为等比数列 （1）2,2,2,2，…； （2）-1,1,2,4,8，…； (3)lg3,lg6,lg12,…;（4） ,,,321a a a ,na ；（5）已知数列{}n a 的通项公式为nn a 23⨯=。

（6）已知数列{}n a 的通项公式为()3--=nn a2.已知数列1,-2，4,-8，16…，它的公比是_____________，通项公式是__________。

3. 已知数列1，—21，41，—81… 则—1281是它的第_______项。

4.一个等比数列的第9项是94，公比是－31，求它的第1项 5. 一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项五、导学探疑例题：在等比数列{a n }中，1.已知a 1＝3，q=-2,求a6；2.已知a 3=20，a6=160，求a n归纳方法： 六．固学思疑：1．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则q 为（ ） A ． 3 B ．4 C ．5 D ．6 2．12+与12-，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．－1 C ．1± D ．21 3．等比数列{}n a 中427,3a q ==-,求7a4．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________. 5.（13大纲理6）已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-（n>1,n N ∈）， 则通项n a =_____________.§2.3等比数列（2）学习目标1. 灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.一、温故知新1．等比数列的定义：___________________________ 2．等比数列的通项公式n a = = .公比q 满足的条件是3．等差数列有何性质？_______________________________________________4．.等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = （a ，b 同号）.二、新课导学1．学习探究（1）.在等比数列{n a }中，2537a a a =是否成立呢？（2）.211(1)nn n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？（3）.2(0)nn k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？2．等比数列的性质在等比数列中，若m +n =p +q ，则m n p k a a a a =.试一试：在等比数列{}n a ，已知19105,100a a a ==，那么18a = . 三．例题例1在等比数列{n a }中，已知51274-=a a ，且38124a a +=，公比为整数，求10a .练习1。

在等比数列{n a }中，已知5127=a a ，则=111098a a a a .练习2. 在7和56之间插入a 、b ，使7、a 、b 、56成等比数列，若插入c 、d ，使7、c 、d 、56成等差数列，求a ＋b ＋c ＋d 的值.变式：三个数成等比数列，它们的积等于27，它们的平方和等于91，求这三个数。

例2.已知{},{}n n a b 是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什变式：项数相同等比数列{n a }与{n b }，数列{nnb }也一定是等比数列吗？证明你的结论.小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列.四． 学习小结1. 等比中项定义；2. 等比数列的性质.3、公比为q 的等比数列{}n a 具有如下基本性质：⑴数列{||}n a ，2{}n a ，{}(0)n ca c ≠，*{}()nm a m N ∈，{}k n a 等，也为等比数列，公比分别为2||,,,,m k q q q q q . 若数列{}n b 为等比数列，则{}n n a b ，{}n n ab 也等比.(2)若*m N ∈，则n m n m a a q -=. 当m =1时，便得到等比数列的通项公式. (3 )若m n k l +=+，*,,,m n k l N ∈，则m n k l a a a a =.(4)若{}n a 各项为正，c >0，则{log }c n a 是一个以1log c a 为首项，log c q 为公差的等差数列. 若{}n b 是以d 为公差的等差数列，则{}n b c 是以1b c 为首项，d c 为公比的等比数列. 当一个数列既是等差数列又是等比数列时，这个数列是非零的常数列五． 当堂检测1. 在{}n a 为等比数列中，0n a >，224355216a a a a a ++=，那么35a a +=（ ）.A. ±4B. 4C. 2D. 82. 若－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列， 则b 2(a 2－a 1)＝（ ）.A ．8B ．－8C ．±8D ．983. 若正数a ，b ，c 依次成公比大于1的等比数列，则当x >1时，log a x ，log b x ，log c x （ ） A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比数列，则中间数等于 .5. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，65a a =9，则log 31a + log 32a +…+ log 310a = .6.在{}n a 为等比数列中，6491=a a ，3720a a +=，求11a 的值.7. 已知等差数列{}n a 的公差d ≠0，且1a ，3a ，9a 成等比数列，求1392410a a a a a a ++++.§2.3.3等比数列的前n 项和一．学习目标1. 掌握等比数列的前n 项和公式；2. 会用公式解决有关等比数列的1,,,,n n S a a n q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题.等比数列的前n 项和新知：等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++，公比为q ≠0，公式的推导方法一：则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨=⎪⎩(1)n q S ∴-= 当1q ≠时，n S = ① 或n S =②当q =1时，n S = 公式的推导方法二：由等比数列的定义，32121n n a a aq a a a -====，有231121n n n n na a a S a q a a a S a -+++-==+++-， 即 1n n nS a q S a -=-.∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上）公式的推导方法三：n S =123n a a a a +++＝11231()n a q a a a a -++++＝11n a qS -+＝1()n n a q S a +-.∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上）试试：求等比数列12，14，18，…的前8项的和.三．例题例1已知a 1=27，a 9=1243，q <0，求这个等比数列前5项的和.练习1：13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和.练习2：等比数列中，33139,.22a S a q ==,求及例2. 等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S .变式：在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S .例3. 数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a ≠0，a ≠1），试证明数列{}n a 是等比数列.变式：数列{}n a 的前n 项和为n S ，)(,12,1*11N n S a a n n ∈+==+，则n a = ．四．当堂检测1. 等比数列{}n a 中，33S =，69S =，则9S =2. 在等比数列中，若332422S a S a +=+，则公比q ＝ .3. 在等比数列中，11a =，512n a =-，341n S =-，则q ＝ ，n ＝ .4. 等比数列的前n 项和12nn s =-，求通项n a .5．（13湖北理18）已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =。