2018-2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题1. _____________________________________________________________ （3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定______________________________ 个平面.2. _______________________________________________________ （3分）已知球的体积为36 n,则该球主视图的面积等于_____________________________________ .3. （3分）若正三棱柱的所有棱长均为___ a,且其体积为16 :■:,则a = .4. （3分）如图，以长方体ABCD - A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若］■的坐标为（4, 3,2）,则—■的坐标是___________5. （3分）若圆锥的侧面积是底面积的________ 3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.6. （3分）已知圆柱Q的母线长为I，底面半径为r, O是上底面圆心，A, B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为——，贝—= ________& T7. （3分）已知△ ABC三个顶点到平面a的距离分别是3, 3, 6，则其重心到平面a的距离为（写出所有可能值）& （ 3分）正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动，贝U 「宀的取值范围是______________ .9. （3分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去△ AOB, 将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为________________ .大值是12.（ 3分）如图，在四面体 ABCD 中，E ，F 分别为AB , CD 的中点，过 EF 任作一个平面 a 分别与直线BC , AD 相交于点G , H ，则下列结论正确的是 ____________ .① 对于任意的平面 a,都有直线GF , EH , BD 相交于同一点； ② 存在一个平面a 0,使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③ 对于任意的平面 a,都有S A EFG = S\EFH ；④ 对于任意的平面 a,当G , H 在线段BC , AD 上时，几何体 AC - EGFH 的体积是一个定值.10. （3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则 3x+4y 的最大R 的球面上的四点，其中 AB 、AC 、BC 间的球面距离分别为 JT一、 丄[若| 一-， 〔 ] 门「，其中0为球心，则x+y+z 的最B、选择题周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）14. （ 3分）如图，在大小为 45°的二面角 A - EF - D 中，四边形 ABFE 与CDEF 都是边长 为1的正方形，则B 与D 两点间的距离是（）A .二B .辺C . 1D .一； . J 15. （ 3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最 早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘BP 与AC '所成的角为45°的点P 的个数为（C . 4D . 6、解答题 17. 现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是 a ，高是b ; 2号容器的底面边长是 b ,13. （3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转C . 2_ In之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积 V 的近似 L 2h ,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 362 ^L h 相当于将圆锥体积公式中的公式V ~ n 近似取为3,那么，近似公式 n 近似取为（ A 二 25 3 35511316. (3 分)在正方体 ABCD - A ' B ' C D '中，若点 （异于点 B ）是棱上一点，则满足 C .PA . 0B . 3高是a; 3号容器的底面边长是a,高是a; 4号容器的底面边长是b,高是b.假设b,问是否存在一种必胜的4选2的方案(与a、b的大小无关)，使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由18. 如图，已知圆锥底面半径r = 20cm , O为底面圆圆心，点Q为半圆弧“的中点，点P为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2,求:(1 )圆锥的侧面积；19. 如图，在四棱锥P- ABCD中，PA丄底面ABCD，/ DAB为直角，AB // CD, AD = CD=2AB= 2PA = 2, E、F 分别为PC、CD 的中点.(1)试证: CD丄平面BEF ;(2 )求BC与平面BEF所成角的大小;(3)求三棱锥P- DBE的体积.20. 如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF//底面ABC,且棱台DEF - ABC与棱锥P - ABC的棱长和相等(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和).(1)证明：P- ABC为正四面体；(2)若求二面角D - BC - A的大小(结果用反三角函数值表示) ;(3)设棱台DEF - ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台 DEF - ABC 有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平 行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥 P -ABC 的体积减去棱锥 P -DEF 的体积）.21.火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物. 建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的 热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔.此类 冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为 75〜150米，底边直径65〜120米.双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风 力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略.图1）（1 ）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径 大于上底直径.已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m ,俯视图为三个同心圆, 其半径分别度单位米） （2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线:为 40m ,^-m 30m ,试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（ m 为长C2 2y= 0, y= h,绕y轴旋转形成的旋转体的体积为___________ （用a, b, h表示）旷（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m （底部），最薄处厚度为0.3m （喉部，即左右顶点处）.试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是_______________ ,并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是_______ m3（计算时n取 3.14159,保留到个位即可）（3 ）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内.超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加.现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元.试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）@43. ( 3分)若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16「:，则a = 42018-2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1. （3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定1或2或3个平面.【分析】讨论这两条直线的位置情况，从而得出三条直线所确定的平面数.【解答】解：如果三条直线都交于一点，且三线不共面，则每两条直线都确定一个平面，共确定3个平面;如果三条直线两两相交，交于不同的三点，则只确定1个平面;如果两条直线异面，另一条与其均相交，则只确定2个平面；如果两条直线平行，另一条与其均相交，则只确定1个平面.综上，这三条直线共可确定1或2或3个平面.故答案为：1或2或3.是基础题目.2. （3分）已知球的体积为36 n,则该球主视图的面积等于9n .【分析】由球的体积公式，可得半径R= 3，再由主视图为圆，可得面积.【解答】解：球的体积为36 n,设球的半径为R,可得丄冗R3= 36 n,可得R= 3,该球主视图为半径为3的圆，可得面积为n R2= 9 n.【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题.【点评】本题考查了由直线确定平面的应用问题, 是平面的基本性质与推论的应用问题,【分析】由题意可得(*?a?a?sin60°)?a = 1距，由此求得a 的值.【解答】 解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a 的等边三角形，面积为—?a?a? 2sin60°,正棱柱的高为 a ,•••(_?a?a?sin60°)?a = 16 ： ;,「. a = 4,故答案为：4.【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题.4. ( 3分)如图，以长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的 直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB ；的坐标为(4,3, 2), 则两 的坐标是 (-【解答】解：如图，以长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，•••丽］的坐标为(4, 3, 2), • A (4, 0, 0), C 1 (0, 3, 2), • AC 广4, 3, 2).【点评】 本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算A 和C 1的坐标，由此能求出结果.2),分别求出3. ( 3分)若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16「:，则a = 4求解能力，考查数形结合思想，是基础题.果用反三角函数值表示）【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角.【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为0,•••圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,故圆锥的轴截面如下图所示:【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的倍，是解答的关键.6. （3分）已知圆柱Q的母线长为I，底面半径为r, O是上底面圆心，A,上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为_ --7T r2r3,5. （3分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arcco丄------ 3（结B是下底面圆周故答案为:arccos-3. ( 3分)若正三棱柱的所有棱长均为 a ,且其体积为16「:，则a = 4 【解答】解：如图，过A 作与BC 平行的母线 AD ,连接OD ,则/ OAD 为直线OA 与BC【分析】过A 作与BC 平行的母线AD ，由异面直线所成角的概念得到/ 直角三角形ODA 中，直接由7T 1 …〒二得到答案..在OAD在直角三角形 ODA 中，因为/Q AD=2L ，所以则一「.故答案为:-【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题.7. （ 3分）已知△ ABC 三个顶点到平面 a 的距离分别是3, 3, 6，则其重心到平面 a 的距离 为 0, 2,4 （写出所有可能值）【分析】根据题意画出图形，设 A 、B 、C 在平面a 上的射影分别为 A '、B '、◊,△ ABC 的重心为G ,连接CG 交AB 于中点E ,又设E 、G 在平面a 上的射影分别为E '、 G '，利用平面图形：直角梯形 EE ' C ' C 中数据可求得△ ABC 的重心到平面 a 的距离 GG '即可.【解答】解：如图，设 A 、B 、C 在平面a 上的射影分别为 A '、B '、C ' ,△ ABC 的 重心为G , 连接CG 交AB 于中点E ,又设E 、G 在平面a 上的射影分别为 E '、G ',贝U E ' €A ' B', G ' €C ' E',设 AA'= BB'= 3, CC'= 6, EE'= 3,由 CG = 2GE ,在直角梯形EE ' C ' C 中可求得GG ' = 4;当AB 和C 在平面a 的两侧，由于 EE'： CC'= 1 : 2,可得GG ' = 0;当AB 垂直于平面 a,由中位线定理可得 GG'= 2 .故答案为：0, 2, 4.基础题，三角形重心是三角形三边中线的交点.重心到顶点的距离与重心到对边中点的所成的角，大小为7V距离之比为2：1.& ( 3分)正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动，贝U的取值范围是[0, 1].【分析】建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得二、八；的坐标，再由一~1 -入[0 , 1]，可得〔「「的取值范围.【解答】解：以丨r所在的直线为x轴，以忙弓所在的直线为y轴，以.；所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则 D (0, 0, 0)、C (0, 1, 0)、A (1, 0, 0)、B (1, 1, 0)、D1 (0, 0, 1).•DC=( 0, 1, 0)、BD ] (- 1，- 1, 1).•••点P在线段BD1上运动，• BF'= X?BD [=(-人-人入)，且0W入w 1.•AP= AB+BP= DC+EP =(-入，1 -入，入)，故答案为[0 , 1].【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题.9. (3分)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去△ AOB, 将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、( B)、C、D、O为顶点的四面体的体积为丄—3 —【分析】根据题意，求出翻折后的几何体为底面边长，侧棱长，高，即可求出棱锥的体积.【解答】解：翻折后的几何体为底面边长为4,侧棱长为2 的正三棱锥,高为所以该四面体的体积为 ［「.丄.,故答案为：二£1【点评】本题考查棱锥的体积，考查计算能力，是基础题. 10. （3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的边长关系式和不等式的应用求出结果.【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为:所以：利用三视图的关系，构造成四棱锥体,3x+4y 的最大1左视图所以：x2= 1+4 - y2,整理得：X 2+ y 2= 5 ,故：（3x+4y ） 2＜（ 32+42） （x 2+y 2）,整理得：|.故答案为：5.口【点评】 本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，不等式的应用，主要考察 学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.11. （3分）已知A 、B 、C 、P 为半径为R 的球面上的四点，其中 AB 、AC 、BC 间的球面距 离分别为丄丄P 、丄7若,，-.其中O 为球心，贝U x+y+z 的最 大值是 二二 【分析】以OA , OC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间坐标系，求出|丄，「， 「的坐 标，根据P 在球O 上，得到厂日的长度为R ,再结合柯西不等式即可得到结论.【解答】 解：依题意， OA 丄OC , OB 丄OC ,又OA Q OB = O ,所以OC X 平面OAB ,以OA , OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，O 为坐标原点立空间坐标系,则 0A =( R, 0, 0), 0C =( 0, R , 0)因为OA 与OB 夹角为卫-，所以不妨设 压=（—R , W!R , 0）,如图,322因为P 在球O 上，所以I 「1= R ,R , ■： R ），R ,【点评】本题考查了球面距离，空间向量的坐标运算，向量的模，柯西不等式等知识，属于中档题.12. （3分）如图，在四面体ABCD中，E, F分别为AB, CD的中点，过EF任作一个平面a分别与直线BC, AD相交于点G, H，则下列结论正确的是③，④ .①对于任意的平面a,都有直线GF , EH , BD相交于同一点；②存在一个平面a0,使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面a,都有S A EFG= S\EFH ；④对于任意的平面a,当G, H在线段BC , AD上时，几何体AC - EGFH的体积是一个定值.【分析】①取AD的中点H, BC的中点G,则EGFH在一个平面内，此时直线GF // EH // BD;②不存在一个平面a0,使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③分别取AC、BD的中点M、N，贝U BC //平面MENF , AD //平面MENF，且AD与BC 到平面MENF的距离相等，可得对于任意的平面a, 都有S A EFG= S A EFH .④ 对于任意的平面 a,当G , H 在线段BC , AD 上时，可以证明几何体 AC - EGFH 的体 积是四面体ABCD 体积的一半.【解答】解：①取AD 的中点H , BC 的中点G ,贝U EGFH 在一个平面内，此时直线 GF // EH // BD ，因此不正确；② 不存在一个平面 a O ,使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③ 分别取 AC 、BD 的中点 M 、N ，贝U BC //平面 MENF , AD //平面 MENF ，且 AD 与BC 到平面MENF 的距离相等，因此对于任意的平面 a,都有S A EFG = S A EFH .④ 对于任意的平面 a,当G , H 在线段BC , AD 上时，可以证明几何体 AC - EGFH 的体 积是四面体ABCD 体积的一半，因此是一个定值. 综上可知：只有③④正确. 故答案为：③④.【点评】 本题考查了线面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理，考查了推理能 力和计算能力，属于难题. 、选择题周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可. 【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体.【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力.是基础题.14. （ 3分）如图，在大小为 45°的二面角 A - EF - D 中，四边形 ABFE 与CDEF 都是边长第15页（共29页）13. （3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转为1的正方形，贝U B 与D 两点间的距离是（A . ：B . ]C . 1D ..：..：【分析】由「=_’•」； I. L ，利用数量积运算性质展开即可得出. 【解答】解：•••四边形ABFE 与CDEF 都是边长为1的正方形,又大小为 45° 的二面角 A - EF - D 中，.I ■'.? ■.= 1 x 1 x cos ( 180°- 45•••Li—丄 K.一 =■卩• y 『r + _. ■ | ■「=3-悩：目，•••丨；=:飞：丁 故选：D .【点评】本题考查了数量积运算性质、向量的多边形法则、空间角，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题.1的正方形，贝y B 与C 两点间的距离是（ ）改为则B 与D 两点间的距离是（？？？？15. （ 3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘【解答】解：设圆锥底面圆的半径为 r ，高为h ,则L = 2n-,=0,)=-■之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高h ,计算其体积 V的近似L 2h ,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率36•=L 2h 相当于将圆锥体积公式中的 n 近似取为（7b 公式V ~ n 近似取为3,那么，近似公式A 仝355 113，建立方程，即可求得结论.【分析】根据近似公式C .二丄…J上= 75(2冗「) 2h,故选：B .【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题.16. ( 3分)在正方体 ABCD - A ' B ' C ' D '中，若点P (异于点B )是棱上一点，则满足BP 与AC '所成的角为45°的点P 的个数为( )A . 0B . 3C . 4D . 6【分析】 通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角 即可找出所有满足条件的点P 的个数.【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长 AB = 1, B (1 , 0, 1), C ( 1,1, 1).① 在 Rt △ AA ' C 中，tan / AA ' C =— = .「，因此/ AA ' C 工45°.同理A ' B ' , A ' D '与A ' C 所成的角都为 arcta n 「—门，。