目录
一.数学概念教学的重要性
二.数学概念教学“教什么”
三.数学概念教学典型案例分析
一.数学概念教学的重要性
知名华人数学家、哈佛大学教授丘成桐兴冲冲地 赶到杭州，去与一群刚在高考中取得好成绩的数 学尖子见面。结果却让他颇为失望： “大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定
理不甚了了，只是做习题的机器。这样的教育体
用三角形式表示：在z=r(cosθ+isinθ)中， r表 示复数向量的长度，θ表示复数向量的方向； 用代数形式表示 : 在 z=a+bi 中，复数向量的长度 是“ a2 b2 向。
b ”，“ a
”就表示了复数向量的方
示例5：向量的数量积
① 代数表征： a b a b cos ，说明两个向量的数
“数学育人”终将落空．
数学是用概念思维的，在概念学习中养成的思维
方式，其迁移能力也最强．
数学概念教学的意义，不仅在于使学生掌握“书
本知识”，更重要的是让他们从中体验数学家概
括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学的观
点看待和认识世界的思想真谛，学会用概念思维，
进而发展智力和培养能力其中 x 叫做自变量， x 的取 值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫 做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.
进一步思考：函数的本质究竟是什么？ A.“非空数集”是函数的本质属性之一吗？ B.“单值对应”是函数的本质属性之一吗？ C. “对应法则”是函数的本质属性之一吗？
y x, x 0,1 和y x2 , x 0,1
D.A 同 f 同、但 B 不同的两个函数，是否为同一 个函数？ E.函数本质上是一种人为约定的特殊“对应” .
(2)凸显概念本质的基本策略是“变式教学” 变化当中保持不变的属性就是事物的本质属性。 变式是变更对象的非本质属性或本质属性特征的
， y log
a
1 x
是对数函数吗？
给出一个函数，怎么知道它能否变成一个指数 函数或对数函数呢？
2.教数学概念的过程
示例8：直线的方向向量与平面的法向量①
为什么要提出方向向量与法向量的概念？
如何来刻画直线与平面的方向？ 为什么要用向量平行来刻画直线的方向？ 为什么要用向量的垂直来刻画平面的方向？
与概率有较大偏差的可能性很小.
（4）概念教学应“淡化形式，注重实质” 陈省身：“当然不能考定义、定理，只能考具 体问题，看你能不能把定义落实到例子上”。 示例7：对称轴，角；导数，定积分
思考：
y2 2 y 2log
x 1
1 ，y x 3
是指数函数吗？
2 2 x log 2 x log 1 x 22
n
事件发生的概率P（A）=p。
频率稳定于概率，是不是说频率的极限是概率？ 频率稳定于p，能不能写成：lim
n
n
n
p
①只有大量试验的频率才能作为概率的估计. 频率总可以作为概率的估计, 试验次数的多少只 是影响估计的精度, 试验次数随实际问题而定. ②把“用频率估计概率”错误地理解为用频率的 稳定值估计概率或频率的稳定值是概率的估计等.
1.教数学概念的本质 概念：反映事物本质属性的思维产物. 数学：空间形式和数量关系. 数学概念：反映数学对象的本质属性的思维产物. 本质属性：共有性，特有性，整体性； 相对性：在一定范围内保持不变的性质是“本质 属性”，而可变的性质则是“非本质属性”。
（1）概念教学的关键是揭示本质属性 示例1：集合概念的教学 幼儿园孩子学习集合。
频率的稳定值就是概率 , 但仅从试验中我们无法
知道频率的稳定值具体是多少.
③ “ 试验次数少频率不准确” “随着试验次数
的增加频率越来越接近概率”.
频率随试验结果而改变, 没有准确与不准确的问
题. 试验结果确定了, 频率就定了.
试验次数的增加，不能绝对保证频率越来越接近
概率 . 只是当实验次数很大时，事件发生的频率
①李祎 . 基于探究学习的数学教学策略研究 ,《数学通
报》，2009年第2期
示例9：函数的单调性（形式化过程） 单调性教学设计大体从三个层次展开： 首先，观察图像，描述变化规律，如上升、下降， 从几何直观角度加以认识； 其次，结合图、表，用自然语言描述，即因变量 随自变量的增大而增大（或减小）；
表现形式，变更观察事物的角度或方法，以突出
对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素。
概念变式和非概念变式，统称为概念性变式.
示例4：复数的本质 二元的复数不仅有数量意义 , 而且还有方向意义，
“数量加方向”是复数的本质属性。
用几何形式表示：它的意义是一个向量，其本质
特征是向量的长度和方向;
应如何学习集合？
示例2：数列概念的教学
数列的本质是什么？
应如何学习数列？
示例3：函数概念的本质 设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应
关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集
合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么
就称 f ：A→B为从集合 A 到集合 B 的一个函数，
量积是3个实数的乘积。
② 几何意义： b cos 叫做 b 在 a 的方向上的投影，
故数量积在图形上表征为两条线段“长度”的乘
积。
a b ③ 变式理解： cos a b a b
(3)背会数学定义不等于掌握了数学概念 示例6：一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 n 会稳定在某个常数 p 附近，那么
系，难以培养出什么数学人才。”
李邦河院士：“数学根本上是玩概念的，不是玩 技巧．技巧不足道也！” 概念教学常常采用“一个定义，几项注意”的方 式，以解题教学代替概念教学的做法，严重偏离
了数学的正轨，必须纠正．
否则，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果
可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，