证：设 V , 且 0
k1, k2 P, k1 k2, 有 k1 , k2 V 又 k1－k2 (k1 k2 ) 0
k1 k2 .
而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限 多个不同的向量.
注 只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
⑦ (k l)oa akl akal ak al (k oa) (l oa)
⑧ k o(a b) k o(ab) (ab)k akbk ak bk
(k oa) (k ob);
∴ R＋构成实数域 R上的线性空间．
例6 令 V f ( A) f ( x) R[x], A Rnn
即n 阶方阵A的实系数多项式的全体，则V关于矩阵 的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间．
证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知
f ( A) g( A) h( A), kf ( A) d( A) 其中，k R, h( x),d( A) R[ x] 又V中含有A的零多项式，即零矩阵0，为V的零元素.
证明：假设 有两个负元素 β、γ ，则有
0, 0 0 ( ) ( ) ( ) 0
◇利用负元素，我们定义减法： ( )
3、0 0, k0 0, (1) , k( ) k k
③ 1R＋，a 1 a1 a, a R＋，即1是零元；
④aLeabharlann R＋，1aR＋，且a

1 a

a
1 a

1
1
即 a 的负元素是 a ；
⑤ 1oa a1 a ; a R＋；
⑥ k o(l oa) k oal (al )k alk akl (kl ) oa ;
证明：∵ 0 (0 1) ,
∴两边加上 即得 0 ＝0；
∵ k k( 0) k k0
∴两边加上 k ；即得k 0＝0 ;
∵ (1) 1 (1) (11) 0 0 ∴两边加上－ 即得(1) ; ∵k( ) k k( ) k
③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0
（具有这个性质的元素0称为V的零元素）
④ 对 V , 都有V中的一个元素β，使得
; 0
数量乘法满足下列两条规（则 :
⑤ 1
β 称⑥
k(l )

(kl )
数量乘法与加法满足下列为两条规则：
⑦
(k l)

k

l
的 负
⑧
k( ) k k
元
注：
1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 称为线性运算．
2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．
3 ．线性空间的判定： 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合 就不能构成线性空间．
事实上,a, b R , a b ab R ,且 ab唯一确定；
a R ,k R, k oa ak R,且 ak 唯一确定．
其次，加法和数量乘法满足下列算律
① a b ab ba b a
② (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (bc) a (b c)
∴两边加上 k 即得k( ) k k .
4、如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0.
证明：假若 k 0, 则 (k 1k ) k 1(k ) k 1 0 0.
练习：
1、P273：习题3 1）2）4） 2、证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零 向量，则V一定含有无穷多个向量.
k oa ak
2) 加法与数量乘法定义为： a,b R ,k R
a b ab
k oa ak
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
解：1）R＋不构成实数域R上的线性空间.
⊕不封闭，如
2
1 2
1

log
2 2

1
R＋．
2) R＋构成实数域R上的线性空间．
首先，R＋≠ ，且加法和数量乘法对R＋是封闭的.
定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V ,k P,
在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
k与 的数量乘积，记为 k. 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
加法满足下列四条规则： , , V
① ② ( ) ( )
高等代数课件
第六章 线性空间
§6.2 线性空间的定义 与简单性质·
代数与几何教研室
一、线性空间的定义
设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V中
定义了一种代数运算，叫做加法：即对 , V ，
在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称 为
与 的和，记为 ；在P与V的元素之间还
例1 引例1, 2中的 Pn, P[x] 均为数域 P上的线性空间． 例2 数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示．
P[ x]n { f ( x) an1xn1 L a1x a0 an1,L ,a1,a0 P}
例3 数域 P上 m n矩阵的全体作成的集合,按矩阵 的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间， 用 Pmn 表示．
例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个 数域P上的线性空间．
例5 全体正实数R＋，
1) 加法与数量乘法定义为：a,b R ,k R
a

b

log
b a
以 f(x) 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 －f(x) , 则f(A)有负元素－f(A). 由于矩阵的加法与数
乘满足其他各条，故V为实数域R上的线性空间.
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的.
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 V，的负元素是唯一的，记为- ．