" " # +%
二E 无穷级数敛散性判别法 的局限性及适用范围
级数收敛的必要条件在判断级数发散 % )
"
则此交错级数! * * 0 ,! & $. / +% , & # #
# 42" # $%
收敛 ’
" "
时是比较有效的 / 因为如果 ! & # 满足
# $% # 4"
F. 9 : ;& #
由级数 ! 6 的敛散性判断 ! & 5 ) 6 & # #的
小散则大散 4 & 比值判别法 2 达朗贝尔判别法 4 G 8
:
一 6级 数 收 敛 的 必 要 条 件 及 几个敛散性判别法
级数收敛的必要条件 7 8
:
设9 = 且后项与前项的 ; 是 正 项 级 数%
; <7
比值 % 当; 即 AH: 时有极限 %
; AH:
> ? @
= ; H7 <I = ;
: ; <7
分析 : 本题为正项级数 4 因为利用比较判
# $% " # $% "
判 断!& 需要找一个通项 * 0 , # 收 敛 时/
# $% "
若! 6 收 敛/ 则 称 级 数!& 6 & # #绝对收
# $% # $% " "
比& 3 # 大的收敛级数 ! H #
# $% "
敛3 若 级 数! 6 发 散/ 而 !& 则 & #6 # 收 敛/
无穷级数 2 简称级数 4 就是一个无穷项相 加 的 表 达 式% 判定一个级数的敛散性通常是 比较困难的 & 中央广播电视大学理工类 # 高等 数 学$ 柳 重 堪 主 编 中 央 广 播 电 视 大 学 出 版 2 % 社4 教材中介绍了常用的几种方法 % 对于初学 者不太容易掌握 % 特别是对于某一个级数 % 初 运用恰当的判别 学 者 如 何 在 较 短 的 时 间 内% 方法 % 准确地得出是否收敛的结论 % 显得尤其 重要 & 本人结合多年教学实践和体会 % 总结出 判 断 无 穷 级 数 敛 散 性 的 一 般 常 用 程 序% 感觉 很实用 &
# # # 收 而级数’ 9 ! ) *# ) 7 ) % ) .# & ) % ) .# & % ) .# &
(
四$ 典型例题解答示范
根 剧 以 上 无 穷 级 数 敛 散 性 的 判 定 程 序! 下面举例说明通过图 #程序图标明的顺序来 判定级数的敛散性 "
</ = <
敛! 所以由比较判别法 ! ’
若9= 则> <B ? @= ; 收敛 % ;
; <7 ; A:
则2 当I 级数 9 = 7 4 J7时 % ; 收敛 ’ 当 I 包 括 I为 H : 4 时% 级 2 C 4 K7 2
比较判别法 C 8
张清利
LG M L
北京广播电视大学理工部
0 . . 0年第 0期
"
数!& # 发散 ’
# $%
三E 无穷级数敛散性的判定 程序
尽管判定无穷级数敛散性的方法有很 多/ 各 种 方 法 又 有 局 限 性/ 但对一个具体题
JC > J
北京广播电视大学学报 目! 如 何 灵 活 运 用 各 种 方 法! 取 长 补 短! 尽快 得到正确的答案 ! 是很值得探讨的问题 " 本人 结 合 多 年 教 学 实 践 和 体 会! 认为一般可通过 图 #程 序 图 标 明 的 顺 序 来 判 定 级 数 的 敛 散 性! 效果较好 "
调和级数 * C ,
"
莱布尼茨判别法 ( )
" # +% 对于交 错 级 数 ! * 其中 & +% , * & # # # $%
% % % 级 数 ! %$ % 2 2 212 21 # $% # # 0 C 称为调和级数 / 调和级数是发散级数 ’
若满足 . / $% / 0 11, / # 自某项以后的所有项有 & * % , 3 #- & # 2%
" "
如 果!& 但! 6 却可能是 7 ) 6 & # 收 敛/ #
# $% # $%
* 0 , A 级数
"
发散的 ’
% % % 级 数! % 2 B2 B2 1 2 B2 1 B$ % # $% # 0 C # 称 为 A 级 数/ 当B * -. , - %时 / B A级数收 敛3 当. =B D%时 / A 级数发散 ’
# $% # $% "
判 断!& 需要找一个通项 * C , # 发 散 时/
# $% "
称!& # 条件收敛 ’
# $%
比& # 小的发散级数 ! H #
# $% # 如果 正项 级数 的 通 项 & C ) #中含有 # 或 # 或& 等因子 / 一般可用比值判别法来判断 I # 其敛散性 ’ 比值判别法的缺陷是 G 对于正项级 "
# $% # $%
那么它一定是发散级数 ’ 但级数收敛的 必要条件用来判断级数收敛却不起作用 ’ 利用比较判别法时要注意以下几点 G 0 ) 只适用于正项级数 3 * % ,
"
收敛性
" "
若级数 ! 6 收敛 / 则级数 ! & 6 & # # 收敛 3
# $% # $% " "
若级数 ! & 则!6 一定发散 ’ 6 & # 发散 / #
(
) *#
# 收敛 " % ) .# &
例/ 解
: ) ’% ) 8# & ;
) ) *#
分析 0 利用正项级数比值判别法来判断
. 2 2 .年第 .期 + $ , $ () ’ , . $ (/ 0 $ () 因为 ! *! " # " # $ %& ’ $ %& $ + $ $ , . $ () 0 + , $ () - , . $ () 0 $ *! 1 " # $ %& , . $ (/ 0 + $ $ + , $ () $ *! *2 3) " # $ %& , $ . $ (. , . $ (/ + $ 所以 4 由比值判别法 4 可得到原级数收敛 5
$ 6 $ 发 散4 所 以4 由 比 较 判 别 法 可 知4 , 7 $ *) = & &
6 发散 5 7. (=
$ *) $ &
$
;$ , @) - $ 7 $ *) .@) 解 分析 : 本题为交错级数 4 利用任意项级数 的判别法来判断 例?
$ @) $ ;$ ’ () . @) $ () 因为 ! *! 1 " #A A " # $ () $ %& $ % & . @) ’ $ ;$
&
*8 , () @+ , () 9 @, @+ $ $ $ $ $ $ $ >2 $ () 所以 ) > ) 即 ’ >’ $ $ () ’ ’ $ () $ ) 又因为 ! *! *2 " #’ " # $ $ %& $ %& $ @+ $ $ 所以 4 由莱布尼茨判别法 4 原级数收敛 5 *) @+ $
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所以 4 原级数发散 5 例G 解 ) 7, $ () , $ (. $ *)
) $ () 例 B 7, @) $ *) $ @+ $ $ 解 分析 : 本题为交错级数 4 利用莱布尼茨判 别法来判断 5 因为 ) @ ) ’ ’ $ () $
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分析 0 利用级数收敛的必要条件来判断
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例解
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:
:
设9= 且满 ;和9D ; 是 两 个 正 项 级 数%
; <7 ; <7
足= ED % <7 % C % FF ; ; ;
: :
若9D 则9= 简记为 2 7 4 ; 收 敛% ;收敛2
; <7 ; <7
大敛则小敛 4 ’
: :
若9= 则9D 简记为 2 C 4 ; 发 散% ;发散2
; <7 ; <7
" # 0 # 级数 ! & 2& 2& ?$& ? ?212& ?21 # $. " # 称为等比级数 / 当6 当 6 = %时 / !& ? ? 收敛3 # $. " # 6 6 @%时 / !& ? ? 发散 ’ # $.