综上所述，我们有以下重要结论：
P
级数
n1
1 np
当 p 1时， 收敛．
当
p
1 时，
发散．
当 p 1时，
级数 1 1 1 1 1 称为调和级数，
n1 n
23
n
调和级数是发散的．
几何级数
aqn
当
|
q
|
1
时，收敛于 1
a
． q
n0 当 | q | 1时，发散．
二、正项级数敛散性的判定法
n1 n 1
级数
1 发散．
n1 n(n 1)
× 另解 (1) 1 1， 又级数 1 发散，
n(n 1) n
n1 n
级数
1 发散．
n1 n(n 1)
(2)
1 1 3n
(1)n，又级数 3
(1)n收敛， n1 3
级数
1 收敛． n1 1 3n
利用比较判定法判定正项级数的敛散性，需要 找一个已知敛散性的正项级数作为比较级数．
即 un 的部分和数列有上界， un 收敛．
n1
n1
由(1)用反证法可证(2)．
1. 比较判定法
定理 设有级数 un， vn，其中 0 un vn(n 1,2, )，
n1
n1
(1) 如果 vn 收敛，则 un 也收敛；
n1
n1
(2) 如果 un 发散，则vn 也发散．
n1
n1
根据级数的性质，定理中的条件 0 un vn(n 1,2, )， 可放宽为：存在正整数 N 及正数 k，
n1
从而我们有正项级数收敛的充要条件
正项级数收敛 其部分和数列 sn有上界．
例 1 讨论 p-级数
1
n1 n p
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性．
解
当
p
0
时，lim n
un
lim
n
1 np
1
p 0，发散． p0
当
p 1时，sn
1
1 2
1 3
1 ，作函数 n
y 1 的图形， x
1. 比较判定法
定理 设有级数 un， vn，其中 0 un vn(n1,2, )，
n1
n1
(1) 如果 vn 收敛，则 un 也收敛；
n1
n1
(2) 如果 un 发散，则vn 也发散．
n1
n1
证明 (1) vn 收敛，其部分和数列有上界 (设为 )，
n1
又 un vn， sn u1 u2 un v1 v2 vn ，
由图可知 1 n1 dx n nx
y 1
x
sn
1
1 2
1 3
1 n
n1 dx ln(n 1) 1x
所以 sn没有上界，发散．
p-级数
n1
1 np
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
当 p 0 及 p 1时，发散．
当
0
p 1时，sn1
1 2p
所以 sn没有上界，发散．
1 np
1
y
1 2
n1
|
un
|
收敛．
证
设
lim
n
n2un
s，则
lim n2
n
|
un |
|
s
|，
由上述推论知 | un | 收敛．
n1
此时我们也称 un 绝对收敛．
n1
2. 比值判定法(达朗贝尔判定法)
定理
设
n1
un
是正项级数，如果lim n
使 0 un kvn，(n N )． 利用比较判定法判定正项级数的敛散性，需要
找一个已知敛散性的正项级数作为比较级数．
常用的比较级数是几何级数，p-级数．
例2 判定级数 (1)
n1
1 n(n
1)
，
(
2)
n1
1
1 3n
的敛散性．
解 (1) 1 1 ，又级数 1 发散，
n(n 1) n 1
第二节 常数项级数敛散性的判定法
一、正项级数及其敛散性的判定法
正项级数的概念
如果级数 un的通项 un 0，则称其为正项级数．
n1
若 un 是正项级数，则其部分和数列 sn 单调增加．
n1
如果部分和数列 sn 有上界，则正项级数 un 收敛；
n1
如果部分和数列 sn 没有上界，则正项级数 un 发散．
n1 2n 1
nn3 3
解
(1)
lilmim( nn
2(2nn？111)3)3nnl
1 2
0
0，
又
1 发散，
6 n1
n
(
n
6 n
n3 发散．
)n
n1 (2n 1)3 n
(2)
lim
n
2n 1 (1)n
lim( 2n )n lim(1 1 )n 1 .
n 2n 1 n 2n 1
的敛散性知，
p
q np
当
pq (2)
时，
n1
lim n
sin
q
1 np
收敛，当
pq
ln(1
1
1 n2
)
1
0，又
时， sin
n1
q
1 np
1 收敛， n1 n2
发散．
n2
n1
ln
n2 n2
1收敛．
例4 判定下列级数的敛散性
(1)
n3
； (2) (
n
)n .
n1 (2n 1)3 n
n1
n1
特别地，若 l 0， vn 收敛 un 收敛．
n1
n1
若 l ，vn 发散 un 发散．
n1
n1
例3 判定下列级数的敛散性
解
(1) (1)
n1
sin q
1 np
(
p
0, q
0)；
sin q lim
1 np
1 0，由
n 1
(2)
n1
n1
1 qn
ln
n2 n2
1.
1 n
ln(n 1)
当
p
1 时，作函数
y
1 xp
的图形，
y
1 xp
(
p
1)
由图可知
1 np
n dx n1 x p
(n 2,3, )
o
1
234
x
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
1
2 dx 1 xp
n dx n1 x p
1
ndx 1 xp
1
1 (1 p1
1 n p1
)
1
1 p1
所以 sn有上界，收敛．
e
2
又
(1)n 收敛，
(
n
)n 收敛．
n1 2
n1 2n 1
推论
设
un 为正项级数，如果
n1
lim
n
n
p
un
l
0，
则当 p 1时，级数收敛；当 p 1时，级数发散．
如果
lim
n
n
pun
0，且
p 1，级数收敛；
如果
limHale Waihona Puke nnpun
，且
p 1，级数发散.
例5
设
lim
n
n2un
存在，证明
如果所需判定的正项级数收敛，则需找一个通项 较大的收敛的正项级数作为比较级数．
如果所需判定的正项级数发散，则需找一个通项 较小的发散的正项级数作为比较级数．
从而在实际问题中，直接应用比较判定法有 很大的盲目性，且也很不方便． 为此我们给出方便实用的比较判定法的极限形式．
定理(比较判定法的极限形式)
设
n1
un，
n1
vn
为正项级数，
如果
lim
n
un vn
l
0，
则 un 与 vn 有相同的敛散性．
n1
n1
证明 当
n
lim un l n vn N 时，有
0， | un vn
l|
对于 0
l 2
l ， N 0，
2
l 2
vn
un
3l 2
vn，
由比较判定法知 un 与 vn 有相同的敛散性．