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因此，无条件均值、无条件方差不受误差过程（4.2）的影响。 3） t 的条件均值是
E ( t t 1 , t 2 ,) Et 1vt Et 1 ( 0 1 t21 )1/ 2 0
4） t 的条件方差是
E ( t2 t 1 , t 2 ,) 0 1 t21
ˆt2 q 1 ˆt21 0 1 ˆt2 2 ˆt21 q Et
方程(*)被称为自回归条件异方差(ARCH)模型。
条件异方差模型介绍
由 Engle (1982) 提出的一类乘积条件异方差模型：设定 白噪声扰动项 vt 为乘积扰动形式。如
t vt 0 1 t21
pValue = 0
ARCH_LM检验(Eviews) ARCH-LM效应检验结果
27
F统计量及T×R2统计量的P值都小于0.05，因此，在5% 的显著性水平下，深证综指收益率自回归模型的残差存 在ARCH效应。
残差平方相关图检验
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残差
残差平方
ARCH模型定阶
ARCH Test: F-statistic Obs*R-squared 5.220573 44.68954 Probability Probability 0.000001 0.000002 Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 10/21/04 Time: 21:27 Sample(adjusted): 2010 2254 Included observations: 245 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C 0.000110 5.34E-05 2.060138 RESID^2(-1) 0.141549 0.065237 2.169776 RESID^2(-2) 0.055013 0.065823 0.835766 RESID^2(-3) 0.337788 0.065568 5.151697 RESID^2(-4) 0.026143 0.069180 0.377893 RESID^2(-5) -0.041104 0.069052 -0.595260 RESID^2(-6) -0.069388 0.069053 -1.004854 RESID^2(-7) 0.005617 0.069178 0.081193 RESID^2(-8) 0.102238 0.065545 1.559806 RESID^2(-9) 0.011224 0.065785 0.170619 RESID^2(-10) 0.064415 0.065157 0.988613 R-squared 0.182406 Mean dependent var Adjusted R-squared 0.147466 S.D. dependent var S.E. of regression 0.000627 Akaike info criterion Sum squared resid 9.19E-05 Schwarz criterion Log likelihood 1464.875 F-statistic Durbin-Watson stat 2.004802 Prob(F-statistic)
8
模型提出背景
9
深证综指日收益率峰度为3.755，高于正态分布的峰度值3，说明深证综 指具有一定的尖峰厚尾的特征，J-B检验也证实了深证综指日收益率的分 布显著异于正态分布。 View-Descriptive Statistics-Histogram and Stats
模型提出背景
10
Hist(x), histfit(x), normfit(x), normplot(x)
这个条件方差依赖于 t21 的值，如果 t21 值较大，在 t 处的条件方差将 也较大。因此，ARCH 模型能捕捉到 { yt } 的平缓期和波动期。
条件异方差模型介绍
现在可以分析 yt 的无条件均值、无条件方差：
a0 a1i t i ，可求出： 由于 yt 1 a1 i 0
2
当 代 计 量 经 济 模 型 体 系
单 序 列
时 间 序 列 分 析
截面数据回归
模型提出背景
波动模型种类
SV（随机波动）模型 SV-M 模型 MSSV 模型 LMSV 模型
3
波动模型
ACD（自回归条件久期）模型 MSACD 模型 SCD（随机条件久期）模型 MSSCD 模型
ARCH 模型 TARCH 模型 EARCH 模型 ABSARCH 模型 ARCH-M 模型 ABSARCH-M 模型 FIARCH 模型
第三章 条件异方差模型
模型提出背景
单位根检验 时间序列的加法、乘法模型， X12 季节调整 ARIMA（时间序列）模型 线性时间序列 SARIMA（季节时间序列）模型 GAR（广义自回归）模型 BL（双线性）模型 非线性时间序列 TAR、STAR（门限自回归、平滑转移）模型 ARCH、GARCH（自回归条件异方差）模型 向 量 序 列 波动模型 SV（随机波动）模型 ACD、 SCD（自回归、随机条件久期）模型 VAR、 VEC（向量自回归、误差修正）模型 单方程（线性、非线性） 、分位数回归模型 回 归 分 析 时间序列回归 联立方程模型（结构、简化型、递归模型） PANEL（面板数据）模型、空间计量模型 DS（离散选择）模型、有序响应、计数模型 LDV（受限因变量）模型（删失、截断模型） 蒙特卡罗模拟技术
模型提出背景
波动集群性
.15
-.10 250 500 750 1000 1250 1500
如图所示，为上证指数对数日收益率时间序列图，从 图中直观可见，收益率存在着丛集性效应(即一次大 的波动后往往伴随着大的波动，一次小的波动后往往 伴随着小的波动)。
模型提出背景
异方差性(heteroscedasticity)
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条件异方差模型介绍
ARCH模型简介
1982年恩格尔（Engle）提出“条件异方差自回归模型，简 称ARCH模型 。ARCH模型获得了2003年诺贝尔经济学奖 被认为是最集中反映了方差变化特点，而被广泛应用于金 融数据时间序列分析的模型。 ARCH 理论是目前国际上前沿的用于金融市场资产定价的 理论。与传统的 CAPM 、 APT 理论相比， ARCH 是一种动 态非线性的股票定价模型，它突破了传统的方法论和思维 方式，摒弃了风险与收益呈线性关系的假定，反映了随机 过程的一个特殊性质方差随时间变化而变化。
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1） yt 的无条件均值
Eyt a0 /(1 a1 )
i 0
2） yt 的无条件方差为 Var ( yt ) a12iVar ( t i ) ，则有 再由 t 的无条件方差是常量（ a0 /(1 a1 ) ）
1 Var ( yt ) 0 2 1 1 1 a1 3） yt 的条件均值： Et 1 yt a0 a1 yt 1
经典线性回归模型的一个重要假定是：总体回归函数 中的随机误差项满足同方差性，即它们都有相同的方差。 如果这一假定不满足，则称线性回归模型存在异方差性。
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模型提出背景
异方差性的例子：
1. 调查不同规模公司的利润，发现大公司的利润波动 幅度比小公司的利润波动幅度大 2. 分析家庭支出时发现高收入家庭支出变化比低收入 家庭支出变化大。在分析家庭支出模型时，我们会发 现高收入家庭通常比低收入家庭对某些商品支出有更 大的方差。
4） yt 的条件方差
Var ( yt yt 1 , yt 2 ,) Et 1 ( yt a0 a1 yt 1 ) 2 Et 1 ( t2 ) 0 1 t21
ARCH 过程可以多种形式扩展。 Engle(1982)考虑了高阶 ARCH(q) 过程
t vt 0 i t2i
i 1 q
条件异方差模型例子
自回归条件异方差模型----ARCH模型
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汇率
条件异方差模型例子
Tell Me Why 最炫民族风
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条件异方差模型回顾
自回归条件异方差模型----ARCH模型
xt f (t , xt 1 , xt 2 , ) t t ht t 2 2 h 0 1 t 1 m t m t
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条件异方差模型介绍
ARCH 模型 Engle(1982) 提出可以同时对一个序列的均值和方差建 模方法。 yt 1 的条件方差是： Var ( yt 1 yt ) Et ( yt 1 a0 a1 yt ) 2
Et ( t 1 ) 2
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现在假设这个条件方差不是常量，预测这个条件方差的最简 单办法是把估计的残差的平方看作为 AR(q)过程 ˆt 2q vt ˆt 2 0 1 ˆt 21 2 ˆt 22 q (*) 这里 vt 是白噪声过程。由此可以预测 t+1 时的条件方差
GARCH 模型 TGARCH 模型 EGARCH-M 模型 ABSGARCH 模型 GARCH-M 模型 ABSGARCH-M 模型 FIGARCH 模型
模型提出背景
4
思考问题：
ARIMA模型是否适合拟合动态生产过程？ 对股票数据，利用ARIMA建模是否适合？ 传统的经济计量模型往往假设方差？
不变的，即在不同 时期方差保持一个 常数
模型提出背景
金融时间序列：尖峰厚尾、长记忆性、波动集群 性(丛集性或积聚性)、条件异方差性等特点
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ACF随时间延迟以多 项式的速度缓慢衰 减至0，则称为长记 忆时间序列。
模型提出背景
尖峰厚尾(Leptokurtosis)：