2.1向量的基本概念
一、向量的定义
既有大小，又有方向的量叫做向量。
二 、向量的表示方法
A（起点）
B（终点）
1 几何表示法： 2 字母表示法：
有向线段 方向、长度 ） （ 起点、 a ，b AB
三、 向量的有关概念 1.向量的长度（模）：向量AB的大小也就是向量的长度（模）。 记作 |AB| 或 | a |
那么对任意向量 a, b 的加法是否也满足交换律和结合律？ D 请画图进行探索。
B
a
C
abc
bc
c
C
b
O
ab b
A A
a
ab
a
b
ab ba
(a b) c a (b c).
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。 C
BC CD _____ BD
C
A
AD AB BC CD _____
AE AB BC CD DE _____
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法1：在平面内任取一点O， 作 OA a ，AB b ， 则 OB a b
a b。
g
A
b e
E D
(2) f d (3)
ab d g a b c
d
a
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
向量的减法
一、定义（利用向量的加法定义）。 二、几何意义（起点相同，由减向量的终点 指向被减向量的终点）。
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中真命题的个数是( ) A．0 B. 1 C. 2
D C
C
D. 3
D
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
A B B
当b ≠ 0时成立。
A
小结:
定义 几何表示法：有向线段 表示 符号表示法：
a ，b
AB
向量
向量的有关概念
长度（模） 零向量 特殊向量 单位向量 向量间 平行（共线） 相等
规定：0与任一向量平行。 C OA = a A B
. o
l
OB = b
OC = c
问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线l上的 一点O ，这时它们是不是平行向量？ 各向量的终点与直线l之间有什么关系？
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？ 2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？ （2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
B C
b
O
ab
A
起 点 相 同
a
文字表述为：以同一起点的两个向量为邻边作平行 四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是 和向量。
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法2：在平面内任取一点O， OB b ， 作 OA a ， 以 OA、OB为邻边作 OACB
a b。
三、几何意义：
a b 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a 的终点的向量
注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。 （1）如果从 a 的终点指向 b 终点作向量，所得向量是什么呢？
（ 三 A 角 形 法 则 ）
练习：
(1) AB AD DB （2）当 a ， b 共线时，怎样作 a b 呢？ (3) BC BA AC (4) OD OA AD O A B
2．两个特殊向量：
零向量---长度(模)为0的向量叫做零向量，记作 0。 单位向量---长度（模）等于1个单位长度的向量叫作单位向量。 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们 的终点的集合组成什么图形？
P
判断题
1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（
）
2.向量的模是一个正实数。（ 3.若|a|>|b| ，则a > b
a
| a b || a | | b |
引入2： 图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向 伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同 方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析，力F与F1、 F2之间的关系如何？
F1 M 图1 M EO C F2 F E O 图2 F1 F
设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反
的向量叫做 a 的相反向量。 记作：
规定： （1） 的相反向量仍是 0 。 0
a
(a) a （2） a (a) 0 (a) a 0 （3）设 a , b 互为相反向量，那么
a b, b a, a b 0
二、向量的减法： a b a (b)
A B A B D C D C
记作：a = b a
规定：0 = 0
b o 相等向量一定是平行向量吗? 向量相等 平行向量一定是相等向量吗?
.
向量平行
例1．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中 与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB 变式一：与向量OA长度相等的向量 有多少个？ 11个 变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向 相反的向量？ 存在，为 FE
解： (2)在Rt ABC中， | AB | 2,| BC | 2 3
D
C
| AC | | AB |2 | BC |2
22 (2 3) 2 4
CAB 60 .
2 3 tan CAB 3 2
A
B
答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º 。
b
a
则向量 AC叫做 a与b的和，记作 a b, 即 a b AB BC AC
B
已知非零向量 a 、 b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b,
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AC AB BC _____
向量的减法运算及其几何意义
回顾： （1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
实数
思考（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？ 如设
：
a 的相反数记作 a 。
x, y R , x y
x ( y )
如何定义向量的减法运算呢？
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
一、相反向量：
你能利用我们学过的向量的加法法则作出 a (b) 吗？
设
AB b, AC a AE a (b) a b 又 b BC a 所以 BC a b
B
a b
b
A
a
D
C
b
a b
E
不借助向量的加法法则你能直接作出
a b 吗？
一般地
a
O
a
a b
b
B
b
b
a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
O
C
ab
b
平行四边形法则
B
尝试练习二：
(3)已知向量 a、 b，用向量加法的三角形法则和平行四边形 法则作出 a b
①
②
b
a
b
a
思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意a, b R ，
有
a b b a, (a b) c a (b c).
练习：已知向量 a, b，求作向量 a b
（1）
a
。
（2）
a
a b
b
b
a b
（4）
a
（3）
a b a
b
b
a b
例4 在 ABCD 中， AB a, AD b, 你能用 a , b表示 AC, DB 吗？
D
C
b
AC a b DB a b
变式一
变式二 本例中，当
a b a b ?
例3 已知向量
a, b, c, d ，求作向量 a b ， c d。
a b
b a d
cd
c
B A
a b d
D C
c
O
作法：
在平面内任取一点O， 作 OA a, OB b,
则
OC c, OD d ,
BA a b
DC c d
起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。 注意：
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
1.下面几个命题： （1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是 |a|=|b| a ∥b （5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
b a (2) BA BC CA
a OA b OB (5) OA OB BA a b BA
B
O
A
一般地
a
O
b
b
A
三、几何意义
a b
B a b 可以表示为从向量 b的终点指向向量
a 的终点的向量
注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。
练习：