这些试验及其它一些试验， 这些试验及其它一些试验，都显 示孟德尔的3: 理论与实际是符合的 理论与实际是符合的. 示孟德尔的 1理论与实际是符合的 这本身就是统计方法在科学中的一项 这本身就是统计方法在科学中的一项 重要应用. 重要应用
用于客观地评价理论上的某个结论是 否与观察结果相符， 否与观察结果相符，以作为该理论是 否站得住脚的印证. 否站得住脚的印证 Nhomakorabea或
k f i2 n fi χ 2 = ∑ − pi = ∑ −n i =1 pi n i =1 npi
2
统计量
χ
2
的分布是什么? 的分布是什么
皮尔逊证明了如下定理: 皮尔逊证明了如下定理 若原假设中的理论分布F(x)已经完全给 已经完全给 若原假设中的理论分布 定，那么当n → ∞ ，统计量 时 的分布渐近(k-1)个自由度的 χ 分布 个自由度的 分布. 的分布渐近 如果理论分布F(x)中有 个未知参数需用 中有r个未知参数需用 如果理论分布 中有 相应的估计量来代替，那么当 相应的估计量来代替， 时，统 n →∞ 计量 2的分布渐近 (k-r-1)个自由度的 2 个自由度的 分 χ χ 布.
2 2
如果根据所给的样本值 X1,X2, …,Xn算得 2 的实测值落入拒绝域， 统计量 χ 的实测值落入拒绝域，则拒绝原假 否则就认为差异不显著而接受原假设. 设，否则就认为差异不显著而接受原假设
皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来 皮尔逊定理是在 无限增大时推导出来 无限 因而在使用时要注意n要足够大 要足够大， 的，因而在使用时要注意 要足够大，以及 npi 不太小这两个条件 不太小这两个条件 这两个条件. 根据计算实践，要求 不小于 不小于50， 根据计算实践，要求n不小于 ，以及 npi 都不小于 5. 否则应适当合并区间，使 否则应适当合并区间， npi满足这个要求 .
2 2
根据这个定理， 根据这个定理，对给定的显著性水平α ， 2 2 查χ 分布表可得临界值 χα ，使得
P(χ > χα ) = α
2 2
得拒绝域: 得拒绝域
χ > χα (k −1) (不需估计参数 不需估计参数) 不需估计参数
2 2
估计r χ > χα (k − r −1) (估计 个参数 估计 个参数)
( fi − npi ) χ =∑ npi i=1
k 2
2
是k个近似正态的变量的平方和 个近似正态的变量的平方和. 个近似正态的变量的平方和 这些变量之间存在着一个制约关系： 这些变量之间存在着一个制约关系：
npi 2 2 渐近(k-1)个自由度的 χ 分布 故统计量 χ 渐近 个自由度的 分布.
i=1
假设检验( 第八章 假设检验(续)
§4. 分布拟合检验 在前面的课程中， 在前面的课程中，我们已经了解了假 设检验的基本思想， 设检验的基本思想，并讨论了当总体分布 为正态时， 为正态时，关于其中未知参数的假设检验 问题 . 然而可能遇到这样的情形， 然而可能遇到这样的情形，总体服从何 种理论分布并不知道， 种理论分布并不知道，要求我们直接对总体 分布提出一个假设 .
实测频数
fi − npi
理论频数
标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小. 标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小
皮尔逊引进如下统计量表示经验分布 与理论分布之间的差异: 与理论分布之间的差异 在理论分布
( fi − npi ) 2 χ =∑ npi i=1
k
k
2
已知的条件下, 已知的条件下 npi是常量
年的432年间 年间， 例1. 从1500到1931年的 年间，每年爆 到 年的 发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统计, 发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统计 年间共爆发了299次战争 数据如下: 次战争, 这432年间共爆发了 次战争 数据如下 年间共爆发了
战争次数X 战争次数 发生 X次战争的年数 次战争的年数 223 0 142 1 48 2 15 3 4 4
又如， 又如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检 抽取100个钟作试验，拨准后隔 小时 个钟作试验， 查，抽取 个钟作试验 拨准后隔24小时 以后进行检查，将每个钟的误差（快或慢） 以后进行检查，将每个钟的误差（快或慢） 按秒记录下来. 按秒记录下来
问该厂生产的钟的误差是否服从正态 分布？ 分布？
解决这类问题的工具是英国统计学家 K.皮尔逊在 皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进 皮尔逊在 年发表的一篇文章中引进 2 检验法. 的所谓 χ 检验法 这是一项很重要的工作，不少人 这是一项很重要的工作， 把它视为近代统计学的开端. 把它视为近代统计学的开端
在概率论中，大家对泊松分布产生的一 在概率论中， 般条件已有所了解，容易想到，每年爆发战 般条件已有所了解，容易想到， 争的次数， 争的次数，可以用一个泊松随机变量来近似 也就是说， 描述 . 也就是说，我们可以假设每年爆发战 争次数分布X近似泊松分布 近似泊松分布. 争次数分布 近似泊松分布 现在的问题是： 现在的问题是： 上面的数据能否证实X 上面的数据能否证实 具有 泊松分布的假设是正确的？ 泊松分布的假设是正确的？
让我们回到开始的一个例子， 让我们回到开始的一个例子，检验每 年爆发战争次数分布是否服从泊松分布. 年爆发战争次数分布是否服从泊松分布 根据观察结果， 根据观察结果，得参数 λ 的极大似然估计为 提出假设H 提出假设 0: X服从参数为λ 的泊松分布 服从参数为
ˆ λ = X =0.69
按参数为 的泊松分布， 按参数为0.69的泊松分布，计算事件 的泊松分布 计算事件X=i 的 概率p p 概率 i ， i的估计是 −0.69 i ， ˆ pi = e 0.69 i ! i=0,1,2,3,4 将有关计算结果列表如下: 将有关计算结果列表如下
孟德尔
…
黄色纯系
… 子一代 子二代
绿色纯系
根据他的理论，子二代中 根据他的理论，子二代中, 黄、绿之比 近似为3:1， 近似为 ， 他的一组观察结果为： 他的一组观察结果为： 黄70，绿27 ， 近似为2.59:1，与理论值相近. ，与理论值相近 近似为
由于随机性，观察结果与 总有些差 由于随机性，观察结果与3:1总有些差 距，因此有必要去考察某一大小的差异是否 已构成否定3:1理论的充分根据 理论的充分根据， 已构成否定 理论的充分根据，这就是如 下的检验问题. 下的检验问题 检验孟德尔的3:1理论 检验孟德尔的 理论: 理论 提出假设H0: p1=3/4, p2=1/4 提出假设 这里，n=70+27=97, k=2, 这里， 理论频数为： 理论频数为： np1=72.75, np2=24.25 实测频数为70， 实测频数为 ，27.
日至1971年2月9日共 日共2231天 例3. 自1965年1月1日至 年 月 日至 年 月 日共 天 记和5级以上的 中，全世界纪录到里氏震级4记和 级以上的 全世界纪录到里氏震级 记和 地震162次，统计如下 次 地震
相继两次地震间 0-4 隔的天数xi 出现的频数f 出现的频数 i 50 10-14 5-9 31 26 15-19 17 10 20-24 25-29 8 6 30-34 35-39 6 8(1) ≥40
例2. 我们以遗传学上的一项伟大发现为例 说明统计方法在研究自然界和人类社会的规律 性时，是起着积极的、主动的作用. 性时，是起着积极的、主动的作用 奥地利生物学家孟德尔进行了长 达八年之久的豌豆杂交试验, 达八年之久的豌豆杂交试验 并根据 试验结果,运用他的数理知识 运用他的数理知识, 试验结果 运用他的数理知识 发现了 遗传的基本规律. 遗传的基本规律
战争次数 x 实测频数 fi
ˆ pi ˆ n pi
0 1 2 223 142 48 0.58 0.31 0.18 216.7 149.5 51.6
3 15 0.01 12.0
4 4 0.02 2.16
∑
14.16 ( fi − npi )2 0.183 0.376 0.251 1.623 2.43 npi 的组予以合并， 次及4次 将n pi<5的组予以合并，即将发生 次及 次 ˆ 的组予以合并 即将发生3次及 战争的组归并为一组. 战争的组归并为一组 因H0所假设的理论分布中有一个未知 参数，故自由度为4-1-1=2. 参数，故自由度为
∑
k
pi ( fi − npi )
=0
尚未完全给定的情况下， 在F(x)尚未完全给定的情况下，每个未知 尚未完全给定的情况下 参数用相应的估计量代替， 参数用相应的估计量代替，就相当于增加一个 制约条件，因此，自由度也随之减少一个. 制约条件，因此，自由度也随之减少一个. 若有r个未知参数需用相应的估计量来代 个未知参数需用相应的估计量来代 自由度就减少r个 替，自由度就减少 个. 渐近(k-r-1)个自由度的 χ 分布 此时统计量 χ 渐近 个自由度的 分布.
2
( fi − npi ) χ =∑ npi i =1
k 2
2
为了便于理解， 为了便于理解，我们对定理作一 点直观的说明. 点直观的说明
在理论分布F(x)完全给定的情况下，每个pi 完全给定的情况下，每个 在理论分布 完全给定的情况下 都是确定的常数. 棣莫佛－ 都是确定的常数 由棣莫佛－拉普拉斯中心极 限定理， 充分大时 渐近正态， 限定理，当n充分大时，实测频数 fi 渐近正态， 充分大时， 因此
K.皮尔逊 皮尔逊
χ2检验法是在总体 的分布未知时， 检验法是在总体 的分布未知时， 是在总体X 根据来自总体的样本， 根据来自总体的样本，检验关于总体分 布的假设的一种检验方法. 布的假设的一种检验方法
检验法对总体分布进行检验时 对总体分布进行检验时， 使用 χ 检验法对总体分布进行检验时，
2
检验假设H 若在H 在用 χ2检验法 检验假设 0时，若在 0下 分布类型已知，但其参数未知， 分布类型已知，但其参数未知，这时需要先 用极大似然估计法估计参数，然后作检验. 用极大似然估计法估计参数，然后作检验 分布拟合的 χ 检验法 的基本原理和步 骤如下: 骤如下