2016-2017年度高二理科寒假作业四选修2-1综合测试2班级 座号 姓名 等级一、选择题（每小题5分，共60分）1. “0<ab ”是“方程c by ax =+22表示双曲线”的 ( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.非充分非必要条件 2.椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个正方形，则此椭圆的离心率为( )A .12B .22 C .32 D .333. 已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A .233 B .263 C .33D . 3 4. k>1，则关于x 、y 的方程(1－k)x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线5. 设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A ．2 5B . 5C ．210D .106. 直线y ＝k(x ＋2)与双曲线x 24－y 2＝1有且只有一个公共点，则k 的不同取值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7. 若抛物线2y ax =的焦点与椭圆x 26＋y22＝1的左焦点重合，则a 的值为( )A ．2B ．4C ．－ 8D ．－48. 设过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点的弦为AB ，则|AB|的最小值为( )A .p 2B ．pC ．2pD ．无法确定9. 对于空间的任意三个向量,,5a b a b -，它们一定是( )A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量 10. 已知平面α的一个法向量是n ＝(1,1,1)，A (2,3,1)，B (1,3,2)，则直线AB 与平面α的关系是( )A ．AB 与α斜交 B ．AB ⊥αC ．AB ⊄αD ．AB ∥α或AB ⊂α11. 已知向量,a b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则0c a ⋅=且0c b ⋅=是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件12. 已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，则P (－2,1,4)到α的距离为( )A ．10B ．3C .83D .103二 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为 ___.14. 已知四面体ABCD 中，AB →＝2a c -，CD →＝568a b c +-，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝___ __.15. 已知点A (λ＋1，μ－1,3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.16. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、CC 1的中点，则异面直线EF 与A 1C 1所成角 的大小是_______.三.解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分10分)过椭圆x 216＋y 24＝1内点M (2,1)引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线的方程． 18. (本题满分12分)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．19. (本题满分12分)抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线垂直于x 轴，又抛物线与双曲线交于点P(32，6)，求抛物线和双曲线的方程．20.（本题满分12分）已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=12AB ，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点.（1）证明：CM ⊥SN ；（2）求SN 与平面CMN 所成角的大小.21. (本题满分12分)如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC=900，BC=2，CC 1=4，EB 1=1，D ，F ，G 分别为CC 1，B 1C 1，A 1C 1的中点，EF 与B 1D 相交于点H. （Ⅰ）求证：B 1D ⊥平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面EGF ∥平面ABD ； （Ⅲ）求平面EGF 与平面ABD 的距离. 22 (本题满分12分)已知椭圆22221(0x y a b a b+=>>）的离心率3e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点A 的坐标为（,0a -），点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB =，求0y 的值2016-2017年度高二理科寒假作业四参考答案1—12ABBCC DCCAD BD13. x 24－y212＝1 14. 335a b c +- 15. 0 16. 30°18.解： (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y2n2＝1(a ，b ，m ，n>0，且a>b)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝47·13a ＝3·13m ，解得：a ＝7，m ＝3，∴b＝6，n ＝2，∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6，∴PF 1＝10，PF 2＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝45，∴sin ∠F 1PF 2＝35.∴S△F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2＝12·10·4·35＝12.19. 解：∵交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x 轴，∴可设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)．∵点P(32，6)在抛物线上，∴(6)2＝2p×32，p ＝2，∴y 2＝4x.∵y 2＝4x 的准线为x ＝－1，且过双曲线的焦点， ∴－c ＝－1，c ＝1，即有a 2＋b 2＝1， ① 又∵点P(32，6)在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1. ②联立①②，解得a 2＝14，b 2＝34，双曲线方程为4x 2－43y 2＝1.故所求的抛物线与双曲线方程分别为y 2＝4x 和4x 2－43y 2＝1.20. 证明：设PA=1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴正向建立空间直角坐标系如图。
则P （0,0,1），C （0,1,0），B （2,0,0），M （1,0,12）， N （12,0,0），S （1,12,0）. （1）111(1,1,),(,,0)222CM SN =-=--,因为110022CM SN ⋅=-++=，所以CM ⊥SN（2）1(,1,0)2NC =-,设a=（x ，y ，z ）为平面CMN 的一个法向量，则10,2210.2x y z x x y ⎧-+=⎪⎪=⎨⎪-+=⎪⎩令，得a=(2,1,-2). 因为1122cos ,232a SN--==⨯所以SN 与片面CMN 所成角为45°。
21. （1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系， 设A 1（a ，0， 0），则C 1（0，2，0），F （0，1，0）， E （0，0，1），A （a ，0，4），B （0，0，4）， D （0，2，2），G （2a，1，0）， ∴1(0,2,2)B D =，(,0,0)AB a =-，(0,2,2)BD =-， ∴10000B D AB •=++=，10440B D BD •=+-=，∴B 1D ⊥AB ，B 1D ⊥BD ，又AB ∩BD=B ， ∴B 1D ⊥平面ABD.（2）证明：∵(,0,0)AB a =-，(0,2,2)BD =-，(,0,0)2a GF =-，(0,1,1)EF =-，∴GF ∥AB ，EF ∥BD ，∴GF ∥AB ，EF ∥BD ，又GF ∩EF=F ，AB ∩BD=B ， ∴平面EGF ∥平面ABD（3）解：由 （Ⅰ）、（Ⅱ）可知，DH 为平面EFG 与平面ABD 的公垂线段， 设11(0,2,2)B H B D λλλ==，则(0,2,21)EH λλ=-，(0,1,1)EF =- ∵EH 与EF 共线，∴22111λλ-=-，即14λ=，∴111(0,,)22B H =，33(0,,)22HD =，∴32HD =EGF与平面ABD 的距离为2(2)解：由（1）可知A （-2,0）。
设B 点的坐标为（x 1,,y 1）,直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y=k(x+2),于是A, B 两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩由方程组消去y 并整理，得2222(14)16(164)0k x k x k +++-=由2121642,14k x k --=+得 21122284,,1414k kx y k k -==++从而 设线段AB 是中点为M ，则M 的坐标为22282(,)1414k kk k -++ 以下分两种情况：（1）当k=0时，点B 的坐标为（2,0）。
线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是（2）当K 0≠时，线段AB 的垂直平分线方程为222218()1414k k Y x k k k -=+++ 令x=0，解得02614ky k =+，由0110(2,y ),(,QA QB x y y →→=--=-）整理得2072,=75k k y ==±±故，综上00==5y y ±±。