i 1,2,3 则
1 须检修 ，其分布列为： Xi 0 不须检修
X1 0 1 p 0.6 0.4
X2 p
0 1 0.5 0.5
X3 p
0 1 0.4 0.6
所以 E ( X1 X 2 X 3 ) 0.4 0.5 0.6 1.5
五、设随机变量 X 的概率密度为 x , 1 0 x cos f x 2 2 , 其它 0 对X独立地重复观察4次， Y表示观察值大于 2 的次数，求 E (Y )。 3
1 2 0
1 当 x 时， F (。 x) 1
0, x 1 1 1 所以 F ( x) arcsin x , 1 x 1 2 1, x 1
五、设连续型随机变量X的分布函数为 x a 0, ，
x F ( x) A B arcsin , a x a (a 0) a x a. 1,

解得
1 1 A ,B 2
概率密度
1 f ( x). F ( x) a 2 x 2 0
a x a 其它
第四、五章
习题课
一、填空题
p 。 答案：1、30;2、0.0228;3、0;4、2.5;51 、 2 p
2
E (Z1 ) E ( X ) E (Y ) ( ) E (Z 2 ) E ( X ) E (Y ) ( )
D( Z1 ) 2 D( X ) 2 D(Y ) ( 2 2 ) 2 D( Z 2 ) 2 D( X ) 2 D(Y ) ( 2 2 ) 2 cov(Z1 , Z 2 ) E(Z1 Z 2 ) E(Z1 ) E(Z 2 )
七、设随机变量 X 与 独立，且均服从正态 Y 1 分布 N (0，求 及 , ) E (min( X , Y )) E (、 X Y )
2 E (max( X , Y ))
解：因为 X Y ~，所以 N (0,1)
E( X Y )

又
1 max X , Y ( X Y X Y ) 2 1 min X , Y ( X Y X Y ) 2
x 1 1 （2）求P( X （ ) 3） 的分布函数 X 2
试求：（1）系数 A；
F ( x)
解：（1）
1
1
A dx 所以 2 A 1 2 2 1 x
1 A
பைடு நூலகம் 1 1 1 2 P ( X ) 2 dx 2 2 3 1 x 1 （3）当 x 时， ， F (x )0 x 1 1 1 1 当 1 x时， , dx arcsin x F ( x) 2 1 1 x 2
1 xe 2
1 x2 2
dx
2

所以
1 1 E (max( X , Y )) [ EX EY E X Y ] 2 2 1 1 E (min( X , Y )) [ EX EY E X Y ] 2 2
八、设 X , Y 相互独立，皆服从 N (, ),试求 与 Z1 X 的相关系数（其中 是不为零的常 Z 2 X Y Y 数） ,.

六、掷一枚硬币1000次，已知出现正面的次 数在400到k之间的概率为0.5，问k为何值？ 解： 设 X 表示正面出现的次数， 则 X ~ B(1000 ,0.5) 。由中心极限定理有
P (400 X k ) k 1000 0.5 400 1000 0.5 ( ) ( ) 1000 0.5 0.5 1000 0.5 0.5 k 500 100 ( ) ( ) 0.5 5 10 5 10 k 500 ( ) 0.5 1 (6.325) 0.5 5 10 k 500 0, k 500
E ( 2 X 2 2Y 2 ) ( 2 2 ) 2 2 E ( X 2 ) 2 E (Y 2 ) ( 2 2 ) 2 2 ( D( X ) E 2 ( X )) 2 ( D(Y ) E 2 (Y )) ( 2 2 ) 2 ( 2 2 ) 2
解 ： P( X

3
)

3
1 x 1 cos dx 2 2 2
1 k 1 P Y k C ( ) 1 2 2 k 0,1,2,3,4
k 4
4 k
1 k C4 , 16
Y
0
1
2
3
4
1 1 3 1 1 Pk 16 4 8 4 16 1 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 E Y 0 1 2 3 4 16 4 8 4 16 5
求：(1)A和B； (2)概率密度 f ( x ). 解：由连续型随机变量的分布函数 F (的连续性得 x) a lim F ( x) ( A B arcsin ) A B lim F ( x) 0 x a a 2 x a a lim F ( x) A B arcsin A B 1 xa a 2
第二章
习题课
单选：1、C；2、C；3、D；4、A；5、B 填空：1、
4 0 .； 2 2、 5；3、
2 4、 ； ； 1 3e
； ；
5、 1
1
2

1 2
1 16
判断：1、×；2、×；3、 √ ；4、×；5、√
四、设随机变量 X 的概率密度函数为：
A f ( x) 1 x 2 0 x 1
二、选择题 答案：1、A；2、B；3、C；4、D；5、A。 三、判断题 1、×；2、 √ ；3、×；4、×；5、√
四、飞机在第一次飞行后必须进行检修的概率 是 0.4 ，在以后的两次飞行中，每一次飞行后 其被检修的概率各增加 0.1 ，求三次飞行后修 理次数的数学期望。
i Xi 解： 表示第 次飞行后须进行检修次数，