解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击 的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A表示“飞机在一次三人射击中被击 落”, 则表示“恰有i发击中目标”. 为互斥的完备事件组. 于是
没有击中目标概率为, 恰有一发击中目标概率为
, 恰有两发击中目标概率为
, 恰有三发击中目标概率为
. 又已知 , 所以由全概率公式得到
5. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑
球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取
一球.
(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱
的概率.
解
(1)以A表示“取得球是白球”，表示“取得球来至第i个箱
率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).
2．设A, B是任意两个事件, 其中A的概率不等于0和1, 证明
P(B|A)=是事件A与B独立的充分必要条件.
证 由于的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.
充分性. 因事件A与B独立, 知事件与B也独立, 因此
,
从而
.
有一件一等品的概率为, 没有一等品的概率为, 将两者加起即为0.7. 答案
为（D）.
2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次
品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有
1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.
解 (1) 恰有1件次品的概率是;(2) 恰有2件次品的概率是; (3 )至少有
解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}；
(4) 设在生产第10件正品前共生产了n件不合格品，则样本空间为{}.
3. 设A, B, C是三个随机事件, 试以A,
(1) 仅有A发生；
(2) A, B, C中至少有一个发生;
由概率一般加法公式得
由对立事件的概率性质知A ,B, C全不发生的概率是
.
习题1-4
1. 选择题
在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7
为概率的事件是( )．
(A) 都不是一等品.
(B) 恰有1件一等品.
(C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.
解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含
(3) A, B, C中恰有一个发生;
(4) A, B, C中最多有一个发生;
(5) A, B, C都不发生;
(6) A不发生, B, C中至少有一个发生.
解 (1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6) .
4. 事件Ai表示某射手第i次(i=1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事
和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A),
(C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正
确..
2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次
取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽
(C) AB未必是不可能事件. (D) P(A)=0或P(B)=0.
解 本题答案应选(C).
2. 设P(AB)=P(), 且P(A)＝p，求P(B).
解因,
故. 于是
3. 已知,,, 求.
由公式知. 于是
4. 设A, B为随机事件,,, 求.
解 由公式可知,. 于是.
5. 设A, B是两个事件, 且, .问:
得一件为正品, 一件为次品的概率.
解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为.
(1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为
3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有的产品
是第一家工厂生产的, 其它二厂各生产. 又知第一、第二家工厂生产的产
品中有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任
2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X, 再从1,2,…,X中任取一个数, 记
为Y,求P{Y=2}.
解 解 P{Y=2}=P{X=1}P{Y=2|X=1}+P{X=2}P{Y=2|X=2}
+P{X=3}P{Y=2|X=3}+P{X=4}P{Y=2|X=4}
=×(0+++)=.
3. 口袋中有b个黑球、r个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色
(A) 与独立.
(B) 与独立.
(C) .
(D) A与B一定互斥.
解 因事件A与B独立, 故,A与及与B也相互独立. 因此本题应选(D).
(3) 设事件A与 B相互独立, 且0<P(B)<1, 则下列说法错误的是( ).
(A) . (B) .
(C) A与B一定互斥. (D) .
解 因事件A与B独立, 故也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概
1件次品的概率是1-; (4) 至多有1件次品的概率是+; (5) 至少有2件次品的
概率是+.
3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：
(1) 两个球均为白球的概率；
(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率；
(3）至少有一个黑球的概率.
解 从9个球中取出2个球的取法有种，两个球都是白球的取法有 种，一黑一白的取法有种，由古典概率的公式知道
(A) A是必然事件.
(B) B是必然事件.
(C) .
(D).
解 由条件概率定义可知选(D).
(2) 设A, B为两个随机事件, 且, 则下列命题正确的是( ).
(A) 若, 则A, B互斥.
(B) 若, 则.
(C) 若, 则A, B为对立事件.
(D) 若, 则B为必然事件.
解 由条件概率的定义知选（B）．
(2) 恰有一人命中目标的概率；
(3) 目标被命中的概率.
解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是
(1)
(2)
(3)
总习题一
1. 选择题：设是三个相互独立的随机事件, 且, 则在下列给定的四对
事件中不相互独立的是( ).
(A)与C.
(B)与.
(C) 与C.
(D) 与.
解 由于A, B, C是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的
(1) 求这件产品是次品的概率;
(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率
分别是多少？
解 设A表示“取到的是一件次品”, (i=1, 2, 3)分别表示“所取到的产品
来自甲、乙、丙工厂”. 易知, 是样本空间S的一个划分, 且
，,.
(1) 由全概率公式可得
.
(2) 由贝叶斯公式可得
又
P(B1)=, P(B2) =, P(B3)=,
P(A| B1)=, P(A| B2)=, P(A| B3)=,
由全概率公式得
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A| B3)
==0.025.
4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品
习题
2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:
(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球,
观察其颜色;
(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色；
(3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数；
(4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数.
(1) 两球都是白球的概率是; (2) 两球中一黑一白的概率是; (3) 至少有一个黑球的概率是1.
4. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和 小于;(2) 两数之积小于;(3) 以上两个条件同时满足;(4) 两数之差的绝对 值小于的概率.
解 设X, Y为所取的两个数, 则样本空间S = {(X, Y)|0<X, Y<1}., (1) P{X+Y<}=; (2) P{XY<}=; (3) P{X+Y<, XY<}
必要性. 已知, 由条件概率公式和对立事件概率公式得到
,
移项得
化简得 P(AB)=P(A)P(B), 因此A和B独立.
3. 设三事件A , B和C两两独立, 满足条件：
, 且,
求.
解 根据一般加法公式有
.
由题设可知 A, B和C 两两相互独立, , 因此有
从而
,
于是或, 再根据题设, 故.
4． 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率
为p(0<p<1), 求此人第4次射击时恰好第2次命中目标的概率.
解 “第4次射击恰好第2次命中” 表示4次射击中第4次命中目标, 前3
次射击中有一次命中目标. 由独立重复性知所求概率为 .
5. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7,
乙命中目标的概率为0.8. 求：
(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；
次或第二次没有击中目标.
习题1-3
1. 选择题
(1) 设A, B为任二事件, 则下列关系正确的是( ).
(A). (B).
(C). (D).
解 由文氏图易知本题应选(D).
(2) 若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)=0, 则下列结论正确的是