1．若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．3．已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD ②∠APB=60°．（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB的大小为（直接写出结果，不证明）4．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点（不重合），且∠BEC=∠CFA=∠a（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：①若∠BCA=90°，∠a=90°，请在图1中补全图形，并证明：BE=CF，EF=|BE﹣AF|；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠a=∠BCA，请写出EF、BE、AF三条线段数量关系（不要求证明）．6．如图．在△ABC中．AB=AC=9，BC=12，∠B=∠C，点D从B出发以每秒2厘米的速度在线BC上从B 向C方向运动，点E同时从C出发以每秒2厘米的速度在线段AC上从C向A运动，连接AD、DE；（1）运动秒时，AE=DC（不必说明理由）；（2）运动多少秒时，∠ADE=∠B，并请说明理由．7．（1）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD ⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△AEC≌△CDB；（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积．（3）拓展提升：如图3，等边△EBC中，EC=BC=3cm，点O在BC上，且OC=2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．8．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？1.解答：解：设中间的数为x，则前面一个为x﹣1，后面一个为x+1，由题意得：10＜x﹣1+x+x+1＜22，解得：3＜x＜7，∵x为自然数：∴x=4，5，6，7．故选：C．2.解答：解：猜测AE=BD，AE⊥BD；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC=CD，CE=CB，在△ACE与△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CDB；∵∠AFC=∠DFH，∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DHF=∠ACD=90°，∴AE⊥BD．故线段AE和BD的数量相等，位置是垂直关系．3.解答：解：（1）①证明：∵∠AOB=∠COD=60°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，∴∠AOC=∠BOD．在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD；②证明：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB，∴∠OAC+60°=∠OBD+∠APB，∴∠APB=60°；（2）AC=BD，∠APB=α．4.解答：（1）①如图，E点在F点的左侧，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，∴∠BEC=∠AFC=90°，∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠CBE=∠ACF，在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE=CF，CE=AF，∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF，当E在F的右侧时，同理可证EF=AF﹣BE，∴EF=|BE﹣AF|；②∠α+∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立；证明：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，∴∠CBE=∠ACF，在△BCE和△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE=CF，CE=AF，∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF，当E在F的右侧时，同理可证EF=AF﹣BE，∴EF=|BE﹣AF|；（2）EF=BE+AF．理由是：∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，∴∠EBC=∠ACF，在△BEC和△CFA中，，∴△BEC≌△CFA（AAS），∴AF=CE，BE=CF，∵EF=CE+CF，∴EF=BE+AF．6.解：（1）设运动的时间是t秒，则CD=12﹣2t，AE=9﹣2t，9﹣2t=（12﹣2t）t=3，故答案为：3．（2）设x秒后，∠ADE=∠B，∵∠B=∠C=90°﹣∠BAC，∴∠B=∠C=∠ADE，∵∠BAD+∠ADB+∠B=180°，∠EDC+∠ADE+∠ADB=180°，∴∠BAD=∠EDC，在△ABD和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴DC=AB=9，∴BD=3，∴x=，即运动秒时，∠ADE=90°﹣∠BAC，∵AB=AC=9cm，∴∠B=∠C=，即∠B=90°﹣∠BAC，∵∠ADE=90°﹣∠BAC，∴∠ADE=∠B．7.证明：（1）∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=ECB，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB；（2）如图1，根据题意得出旋转后图形，AC′⊥AC，B′D′⊥AC，∵∠C′AC=∠AC′B′=∠AD′B′，∴四边形C′AD′B′是矩形，∴AC′=B′D′=AC=4，∴S△AB′C=AC×B′D′=×4×4=8；（3）如图2，∵△BCE是等边三角形，∴∠CBE=∠BCE=60°，∴∠OBF=∠OCP=120°，∴∠BOF+∠BFO=60°，∵∠POF=120°，∴∠BOF+∠OPC=60°，∴∠BFO=∠CPO，∵OP=OF，∴△OCP≌△FBO，∴CP=BO=BC﹣OC=3﹣2=1，∴EP=EC+CP=3+1=4，∵动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，∴t=4÷1=4s．8.解答：解：（1）①∵t=1s，∴BP=CQ=3×1=3cm，∵AB=10cm，点D为AB的中点，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP．（SAS）②∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴点P，点Q运动的时间s，∴cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x=3x+2×10，解得．∴点P共运动了×3=80cm．△ABC周长为：10+10+8=28cm，若是运动了三圈即为：28×3=84cm，∵84﹣80=4cm＜AB的长度，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇．1．如图，已知：正方形ABCD，由顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，且∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．3．如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF．求证：∠B=∠CAF．4．如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．5．四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）（1）如图1，点G是BC边上任意一点（不与点B、C重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证：△ABF≌△DAE；（2）直接写出（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系；（3）①如图2，若点G是CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG 于点E，则图中全等三角形是，线段EF与AF、BF的等量关系是；②如图3，若点G是CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是；（4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系．（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=BF；7．（上周复习）如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．8．如图，在四边形ABCD中，AD=BC=8，AB=CD，BD=12，点E从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度，沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．（1）试证明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时移动时间和G点的移动距离．1.解证明：如图，延长CD到G，使DG=BE，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=GF，∵GF=DG+DF=BE+DF，∴BE+DF=EF．3.解答：证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠B=∠CAF．4.解答：证明：如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H，故∠A=∠CEH，在△ABC与△EHC中，∴△ABC≌△EHC（ASA），∴AB=HE，∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180°∴∠HDE=∠B=∠H，∴DE=HE．∵AB=HE，∴AB=DE．5.解（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠AFB=90°，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAF，∵在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE（AAS）；（2）解：线段EF与AF、BF的等量关系是EF=AF﹣BF，理由是：∵由（1）知：△ABF≌△DAE，∴BF=AE，∴EF=AF﹣AE=AF﹣BF，故答案为：EF=AF﹣BF；（3）①解：△ABF≌△DAE，EF=BF﹣AF，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=90°，∴∠DAE+∠BAE=90°，∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠AFB=90°，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAF，∵在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE（AAS）；∴AE=BF，∴EF=AE﹣AF=BF﹣AF，故答案为：△ABF≌△DAE，EF=BF﹣AF；②解：EF=AF+BF，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=90°，∴∠DAE+∠BAF=180°﹣90°=90°，∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠AFB=90°，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BAF，∵在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE（AAS）；∴AE=BF，∴EF=AE+AF=AF+BF，故答案为：EF=AF+BF；（4）解：与以上证法类似：△ABF≌△DAE（AAS）；∴AE=BF，∴EF=AE﹣AF=BF﹣AF；即EF=BF﹣AF．6.解（1）证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∵∠DBF=90°﹣∠BFD，∠DCA=90°﹣∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA．在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∴Rt△DFB≌Rt△DAC（ASA）．∴BF=AC；（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．在Rt△BEA和Rt△BEC中，∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．∴CE=AE=AC．又由（1），知BF=AC，∴CE=AC=BF；证明：方法一：延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，7.解答：在△BDF和△CDM中，∴△BDF≌△CDM（SAS）．∴MC=BF，∠M=∠BFM．∵EA=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠AFE=∠BFM，∴∠M=∠MAC，∴AC=MC，∴BF=AC；方法二：延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴∠M=∠MAC，BM=AC，∵EA=EF，∴∠CAM=∠AFE，而∠AFE=∠BFM，∴∠M=∠BFM，∴BM=BF，∴BF=AC．21．（1）证明：在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB，∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；（2）解：设G点的移动距离为y，当△DEG与△BFG时有：∠EDG=∠FBG，∴DE=BF，DG=BG，或DE=BG，DG=BF，当F由C到B，即0＜t≤时，则有，解得，或，解得（舍去），当F由B到C，即时，有，解得，或，解得，综上可知共有三次，移动的时间分别为2秒、4秒、5秒，移动的距离分别为6、6、5．A．100 B．105 C．120 D．1082．如图，△ABC中，∠B=∠C=∠EDF=α，BD=CF，BE=CD，则下列结论正确的是（）A．2α+∠A=180°B．α+∠A=90°C．2α+∠A=90°D．α+∠A=180°3．如图1所示为三角形纸片ABC，上有一点P．已知将A，B，C往内折至P时，出现折线，，，其中Q、R、S、T四点会分别在，，，上，如图2所示．若△ABC、四边形PTQR的面积分别为16、5，则△PRS面积为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=3cm，PN=4cm，MN=4.5cm，则线段QR的长为．5．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（1，1）的点共有个．6．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．（1）求证：AD=DC；（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．7．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q 从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．8．如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．（1）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），则θ=；（2）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB 上的E处（如图3），求a的值．9．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．（1）若∠ABC=70°，则∠MNA的度数是．（2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．10．已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40度．（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由；（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个．友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．11．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．12．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE=6cm．（1）如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，①CP的长为cm（用含t的代数式表示）；②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值．（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？13．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．1．解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=27°，∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴∠OCB=∠OBC=36°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．故选D．2．解：A、正确．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C=α，∴2α+∠A=180°．B、错误．不妨设，α+∠A=90°，∵2α+∠A=180°，∴α=90°，这个显然与已知矛盾C、错误．∵2α+∠A=180°，∴2α+∠A=90°不成立．D、错误．∵2α+∠A=180°，∴α+∠A=180°不成立．故选A．3．解：根据题意得△BTQ的面积和△PTQ的面积相等，△CQR和△PQR的面积相等，△ASR 的面积和△PSR的面积相等．又△ABC、四边形PTQR的面积分别为16、5，∴△PRS面积等于（16﹣5×2）÷2=3．故选C．4．解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，∴OA垂直平分PQ，∴QM=PM=3cm，∴QN=MN﹣QM=4.5cm﹣3cm=1.5cm，∵点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，∴OB垂直平分PR，∴RN=PN=4cm，∴QR=QN+RN=1.5cm+4cm=5.5cm．5．解：到l1的距离是1的点，在与l1平行且与l1的距离是1的两条直线上；到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上；以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是（1，1）的点共有4个．故答案为：4．6．（1）证明：∵DC‖AB，∴∠CDB=∠ABD，又∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∴∠CDB=∠CBD，∴BC=DC，又∵AD=BC，∴AD=DC；（2）△DEF为等边三角形，证明：∵BC=DC（已证），CF⊥BD，∴点F是BD的中点，∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF．∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠BDE=60°，∴△DEF为等边三角形．7．（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，∵，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°…（6分）（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分）理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．8．解：（1）如图2，延长ND交OA的延长线于M，∵四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，∴∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，∵点D为AB的中点，∴D点为MN的中点，∴OD垂直平分MN，∴OM=ON，∴∠MOD=∠NOD=θ，∴∠θ+∠θ+∠θ=90°，∴∠θ=30°；（2）如图3，作ED⊥OA于D，∵四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上的E处，∴AB⊥直线l，OD=OC=3，DE=BC=2，∵θ=45°，AB⊥直线l，即直线l平分∠AOC，∴∠A=45°，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AD=DE=2，∴OA=OD+AD=3+2=5，∴a=5．9．解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=40°，∵MN是AB的垂直平分线，∴AN=BN，∴∠ABN=∠A=40°，∴∠ANB=100°，∴∠MNA=50°；（2）①∵AN=BN，∴BN+CN=AN+CN=AC，∵AB=AC=8cm，∴BN+CN=8cm，∵△NBC的周长是14cm．∴BC=14﹣8=6cm．②∵A、B关于直线MN对称，∴连接AC与MN的交点即为所求的P点，此时P和N重合，即△BNC的周长就是△PBC的周长最小值，∴△PBC的周长最小值为14cm．10．解：如图所示：（1）如图1；作40°的角，在角的两边上截取OA=2cm，OB=1cm；（2）如图2；连接AB，即可得到符合题意的△ABC．（3）如图3，满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有4个：a=3，b=4，∠C=40°，a=3，∠B=40°b=4，a=3，b=4，∠A=40°有2解，先画一条直线，确定一点A作40°，取4cm，得到C，以C为圆心，3为半径，交直线上有2点，B和B1，符合条件三角形有2个△ABC和△AB1C．11．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12；（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12﹣2t，解得t=4，∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，y﹣12=36﹣2y，解得：y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．12．解：（1）①PC=BC﹣BP=10﹣4t；②当△BPE≌△CPQ时，BP=PC，BE=CQ，即4t=10﹣4t，at=6，解得a=4.8；当△BPE≌△CQP时，BP=CQ，BE=PC，即4t=at，10﹣4t=6，解得a=4；（2）当a=4.8时，由题意得，4.8t﹣4t=30，解得t=37.5，∴点P共运动了37.5×4=150cm，∴点P与点Q在点A相遇，当a=4时，点P与点Q的速度相等，∴点P与点Q不会相遇．∴经过37.5秒点P与点Q第一次在点A相遇．13．证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．1．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B 重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．2．阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．3．操作实验：如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称．所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．根据上述内容，回答下列问题：思考验证：如图（4），在△ABC中，AB=AC．试说明∠B=∠C的理由；探究应用：如图（5），CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为A．E为AB的中点，AB=BC，CE⊥BD．（1）BE与AD是否相等，为什么？（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；（3）∠DBC与∠DCB相等吗试？说明理由．4．已知：如图，∠ACB=90°，D、E是AB上的两点，且AE=AC，BD=BC，EF⊥CD于F，求证：CF=EF．5．（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．6．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG 的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．7．生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：（1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围；（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x表示）．8．如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，CG⊥AB，点D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC．（1）试探究DE、DF、CG三条线段之间的数量关系；（2）当点D在直线BC上移动时，线段DE、DF、CG之间的数量关系相应地会发生怎样的变化呢？请说明理由．1．解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．2．解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1 B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；（3）由（2）知设∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．3．解：思考验证：过A点作AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（HL），∴∠B=∠C；探究应用：（1）说明：因为BD⊥EC，∴∠CEB+∠1=90°，∠1+∠ADB=90°，∴∠ADB=∠BEC，在△ADB和△BEC中，∴△DAB≌△EBC（ASA）．∴DA=BE．（2）∵E是AB中点，∴AE=BE．∵AD=BE，∴AE=AD．在△ABC中，因为AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．∴∠BAC=∠DAC．在△ADC和△AEC中，，∴△ADC≌△AEC（SAS）．∴DC=CE．∴C在线段DE的垂直平分线上．∵AD=AE，∴A在线段DE的垂直平分线上．∴AC垂直平分DE．（3）∵AC是线段DE的垂直平分线，∴CD=CE．∵△ADB≌△BEC，∴DB=CE．∴CD=BD．∴∠DBC=∠DCB．4．证明：连接CE．∵AE=AC，∴∠1+∠2=∠AEC=∠3+∠B．①同理，∠2+∠3=∠1+∠A．②①+②得2∠2=∠A+∠B．∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°．∴∠2=45°．∵EF⊥CD，∴∠CFE=90°．∴∠CEF=45°=∠2，∴EF=CF．5．解：（1）如图（共有2种不同的分割法）．（2）设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中，①若∠C是顶角，如图1，则∠CBD=∠CDB=90°﹣x，∠A=180°﹣x﹣y．而∠ADB＞90°，此时只能有∠A=∠ABD，即180°﹣x﹣y=y﹣（90°﹣x）即3x+4y=540°，即∠ABC=135°﹣∠C；②若∠C是底角，第一种情况：如图2，当DB=DC时，则∠DBC=x，△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y﹣x．由AB=AD，得2x=y﹣x，此时有y=3x，即∠ABC=3∠C．由AB=BD，得180°﹣x﹣y=2x，此时3x+y=180°，即∠ABC=180°﹣3∠C．由AD=BD，得180°﹣x﹣y=y﹣x，此时y=90°，即∠ABC=90°，∠C为小于45°的任意锐角．第二种情况，如图3，当BD=BC时，∠BDC=x，∠ADB=180°﹣x＞90°，此时只能有AD=BD，从而∠A=∠ABD=∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD=BC不成立．综上，∠ABC与∠C之间的关系是：∠ABC=135°﹣∠C或∠ABC=180°﹣3∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=90°，∠C是小于45°的任意角6．解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC∴△ABF≌△ACG（AAS）∴BF=CG；（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形∴DE=HG，DH∥BG∴∠GBC=∠HDC∵AB=AC∴∠FCD=∠GBC=∠HDC又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；（3）仍然成立．证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC ，∴△FDC ≌△HCD （AAS ）∴DF=CH ，∴GH +CH=DE +DF=CG ，即DE +DF=CG ．7．解：（1）由折纸过程可知0＜5x ＜26，∴0＜x ＜．（2）∵图④为轴对称图形，∴AM=+x=13﹣， 即点M 与点A 的距离是（13﹣）cm ．8．解：（1）CG=DE +DF ．理由如下：如图1，连结AD ，∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴AB ×CG=AB ×DE +AC ×DF ，∵AB=AC ，∴CG=DE +DF ．（2）如图2，点D 在CB 的延长线上，连接AD ，∵S △ACD =S △ABD +S △ABC ，∴AC ×DF=AB ×DE +AB ×CG ，∵AB=AC ，∴DF=DE +CG ．如图3，点D 在CB 的延长线上，连接AD ，∵S △ABD =S △ACD +S △ABC ，∴AB ×DE=AB ×CG +AC ×DF ，∵AB=AC ，∴DE=CG +DF ．1．如图，∠MAN=16°，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3使A 3A 2=A 2A 1，如此一直作下去，到不能再作为止．那么作出的最后一点是（ ） 2．如图，等边△ABC 的边长为3，F 为BC 边上的动点，FD ⊥AB 于D ，FE ⊥AC 于E ，则DE 的长为（ ）3．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF +EF 的最小值为 ．4．如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC、△PDC、△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有个．5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A l B1分别交AB、AC于E、F．（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC 与△A1B1C1全等除外）；（2）当△BB1D是等腰三角形时，求α；6．（2003•镇江）已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图（1），请你设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．（图（2），图（3）供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求说明理由，要求标出所分得的每个等腰三角形的三个内角的度数）7．（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．8．观察与发现：（1）小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．你认为△AEF是什么形状的三角形？为什么？实践与运用：如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B 落在EF上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如图⑥）．（2）在图②中连接BB′，判断△BCB′的形状，请说明理由；（3）图⑥中的△GCC′是等边三角形吗？请说明理由．9．下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．10．已知△ABC是等腰三角形，BC边上的高恰好等于BC的一半，则∠BAC的度数是（）11．三角形中有两条中线分别平分它的两个内角，则这个三角形是（）12．已知等腰三角形腰长为2cm，面积为1cm2，则这个等腰三角形的顶角为．13．已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是．14．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为．。