Rm (u) Lu( xm ) Lhu( xm ) ，称 Rm (u) 是用差分算子 Lh 代替微 记 分算子 L 所产生的截断误差.由式(2)，二阶中心差商代替二阶 导数所产生的截断误差 Rm ，从式(4)和式(5)可以得出
Rm Lh (u ( xm ) um ) ， Rm 称为差分方程（5）的截断误差.
得到的，而在此边值问题的解是
(11)
v( x)
M ( x a)(b x) . 2
因为 v( x) 是 x 的二次函数，它的四阶导数为零，从式(2)、 (3)看到 v( x) 在点 xm 的二阶中心差商与 v '' ( xm ) 相等，因此差分方 程(10)的解等于边值问题(11)的解，即
cm .
(6)
(1) 若 Lhum 0(m 1,2, , N 1) ，则不能在 u1 , u2 , , uN 1 中 取到 S 中正的最大值；
2
(2) 若 Lhum 0(m 1,2, , N 1) ，则不能在 u1 , u2 , , uN 1 中 取到 S 中负的最小值. 证 首先用反证法证明(1).假设在 u1 , u2 , , uN 1 中取到 S 中正 的最大值，记为 M ,那么 M 0max um 0 ，由于 S 中的数不全相 m N 等，一定存在某个 i(1 i N 1) ,使得 ui M ,并且 ui 1 与 ui 1 中至少有 一个小于 M .于是
Lu u ''' q( x)u f ( x), a x b, u (a) , u (b) ,
其中 q ( x) 、 f ( x) C a, b , q( x) 0. 将区间 a, b 分成 N 等份，记分点为 xm a mh, m 0,1, , N , 这里步长 h b a .利用泰勒公式，得
(2) vm um 0,
M ( xm a)( b xm ), m 1, 2, , N 1. (12) 2
综合式(8)、(9)、(12)就得到式(7).
4
定理 3.2 表明差分方程(5)的解关于边值问题(1)的右端项 和边值问题是稳定的，亦即当 f 、 、 有一个小的改变时， 所引起的差分解的改变也是小的. 定理 3.3 的解，则 设 u( x) 是边值问题(1)的解， u m 是差分方程(5)
Lhui (ai ui1 bi ui ci ui1 ) bi M ai ui1 ciui1 bi M (ai ci ) M 0
这与 Lhui 0 矛盾，从而（1）得证. 同理可证明(2). 现在运用极值原理论证差分方法的稳定性及收敛性. 定理 3.2 差分方程组(5)的解 um 满足 (7)
参考文献
[1] 李瑞遐、何志东.微分方程数值方法,上海：华东理工大学出版社 [2] 黄明游、冯果忱.数值分析（下册）源自京：高等教育出版社，20085
[3] 杨大地、王开荣.数值分析.北京：科学出版社，2006 [4] 袁东锦.计算方法——数值分析.南京：南京师范大学出版社.2007 [5] 李清扬等.数值分析(第 4 版).武汉：华中科技大学出版社.2006
6
1 [(u ( xm1 ) 2u ( xm ) u ( xm1 )] q( xm )u ( xm ) h2 f ( xm ) Rm (4)
略去余项 Rm ，便得到(1)式中的微分方程在内部节点 xm 的差分 方程；再考虑到式(1)中的边界条件，就得到边值问题(1)的差 分方程
1 um max , ( xm a )(b xm ) max f m , m 1, 2, , N 1, 1 m N 1 2
证
把方程组
Lhum 0, m 1,2, , N 1, u 0 , u N Lhum f m , m 1,2, , N 1, u0 u N 0
差分格式的稳定性与收敛性
1 基本概念 所谓稳定性问题是指在数值计算过程中产生的误差的积累 和传播是否受到控制.在应用差分格式求近似解的过程中，由于 我们是按节点逐次递推进行，所以误差的传播是不可避免的， 如果差分格式能有效的控制误差的传播，使它对于计算结果不 会产生严重的影响，或者说差分方程的解对于边值和右端具有 某种连续相依的性质，就叫做差分格式的稳定性. 差分格式的收敛性是指在步长 h 足够小的情况下，由它所 确定的差分解 um 能够以任意指定的精度逼近微分方程边值问题 的精确解 u( xm ) .下面给出收敛性的精确定义：设 {um } 是差分格式 定义的差分解，如果当 h 0 并且 um x 时，有 um u( x) 0 ，则 称此格式是收敛的. 2 差分方程的建立 对于二阶边值问题
1 2 (vm1 2vm vm1 ) M , m 1,2, , N 1, h u0 u N 0 (10)
其中
M max f m
0 m N
容易验证该微分方程是从边值问题
v '' M , v(a) v(b) 0
和
(1) (2) 的解分别记为 u m 和 um ，其中差分算子 Lh 由式(5)定义，则方程 组(5)的解 u m 为 (1) (2) um um um
(8) (9)
由极值原理可知
(1) um max , , m 1, 2, , N 1 .
3
(2) 接下来再估计 um ，考虑差分方程
由式(3)、(4)、(5)可知
其中 Rm 由式(3)定义.从定理 3.2 得
1 m ( xm a)(b xm ) max Rm 1m N 1 2
(b a) 2 2 h max u (4) ( x) . a xb 96
式(13)给出了差分方程(5)的解的误差估计，而且表明当 h 0 差分解收敛到原边值问题的解，收敛速度为 h 2 . 4 小结 收敛性和稳定性是从不同角度讨论差分法的精确情况，稳 定性主要是讨论初值的误差和计算中的舍入误差对计算结果的 影响，收敛性则主要讨论推算公式引入的截断误差对计算结果 的影响.使用既收敛有稳定的差分格式才有比较可靠的计算结 果，这也是讨论收敛性和稳定性的重要意义.
N
(1)
1 [(u ( xm1 ) 2u ( xm ) u ( xm1 )] u '' ( xm ) Rm 2 h
其中
(2)
h2 ( 4 ) Rm u ( m ), m ( xm1 , xm1 ) 12
(3)
把式(2)代入式(1)中的微分方程，有
1
Lhu ( xm )
vm v( xm )
另一方面，
M ( xm a)(b xm ) 0 . 2
(2) (2) Lh (vm um ) Lh vm Lhum qmvm M f m 0, (2) (2) v0 u0 vN u N 0,
由极值原理可知 即
(2) um vm
1 Lhum 2 (um1 2um um1 ) q ( xm )um f ( xm ), a x b, (5) h u0 , u N ,
解线性代数方程组(5)，得 u( xm ) 的近似值 um . u0 , u1 , , uN 称为边值 问题(1)的差分解. 从上面的推导过程可以看出，在节点 xm 建立差分方程的关 键是在该点用函数 u ( x) 的二阶中心差商代替二阶导数，最后用 差分算子 Lh 代替微分算子 L 就产生差分方程(5).
3 讨论差分方程组(5)的解的稳定性与收敛性 引理 3.1(极值原理) 设 u0 , u1 , , uN 是一组不全相等的数，记 S {u0 , u1 , , uN } ，
Lhum (amum1 bmum cmum1 ), m 1,2, , N 1,
其中 bm 0, am 0, cm 0, bm am
(b a) 2 2 u ( xm ) um h max u (4) ( x) , m 1,2, , N 1. (13) a xb 96
证 记
m u ( xm ) um ，
Lh m Rm , m 1,2, , N 1, 0 N 0,