频谱分析在现代技术中广泛使用
4
（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开
s in k x 是奇函数
l
c o s k x 是偶函数
l
奇函数 f(z) 有
kx
f(x) bk sin
k1
l
,
bk
1 l
l l
f()sinkd.
l
偶函数 f(z) 有
kx
f(x)a0 akcos
k1
l
,
1
ak
kl
l f()coskd.
akk 12cosx2dx
eik xco sk xisink x
Ñ Ñ 1
(12)zk dz i(12)
zkdz
2k
k
z11(z1)2 iz
k
(z1)(z)k
z
8
傅里叶展开与洛朗展开的关系
若f(z)在环域 1|z|1内解析，其洛朗展开
f (z) ck zk k
Ñ ck
1
2i
f (z) zk1
l
l
5
（三） 有限区间中的函数的傅里叶展开 f(x) 定义于 (0, l)
可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部 分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x) 这种做法叫延拓。
例
f (x), g(x)
f (x), g(x)
x
f(x)x, (0,1)
三角函数族：完备性的证明（狄里希利定理）
1 l ll f(x ) a 0 k 1 a kc o sk lx b ksin k lx 2 d x 0
帕塞瓦尔等式（能量守恒）
1 l ll[f(x)]2dx2a0 2k 1 ak 2bk 2
3
例:交流电压 E0 sint 经过全波整流后的傅立叶级数
z
z k
9
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
（一） 实数形式的傅里叶变换
令：
kx
kx
g (x )a 0 {a kco s k 1
l
b ksinl
}.
kkl, kkk1l,
则
l
g (x ) a 0 { a kc o skx b ks inkx } k.
k 1
ak
1
kl
l
l f ( )cosk d ,
E 0sint2 E 04 E 0n 11 (1 2 n )2c o s2 nt.
频谱
幅度
2E 0
4E 0
3
0
2
各个频率分量的幅度
4E 0 15
4E 0 35
4
6
频率
通常，函数 f(t) 表示某系统按时间变化的性质，是时域中的 表示。而在频域中，可用频谱表示。
因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。
狄里希利定理： 若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每 个周期内只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期内只有有 限个极值点，则三角级数收敛，且
f(x),
(在 连 续 点 x)
级数和 1 2{f(x0)f(x0)}.
(在 间 断 点 x)
2
f(x)a0k 1 akcosklxbksinklx
1 bk l
l
l f ( )sink d .
若
lim l f ()d 有限，则
l l
1 lli m a0lli m 2l
l l
f()d0.
10
余弦部分
的极限
l1 lim {
l l k1
l l
f()coskdcoskx}k
1
[
0
f()cosd]cosxd.
正弦部分 的极限
l
这种分解不仅具有严格的数学基础，而且还具有真实的物理背景
f(x)a0k 1 akcosklxbksinklx
ak
1
kl
l f ( )cos k d ,
l
l
1 bk l
l f ( )sin k d .
l
l
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于f(x)。
lim
l k1
1 l
l l
f()sinkdsinkxk
1
0[
f()sind]sinxd.
故
f(x ) 0 A ( )c o s x d 0 B ( )s in x d ,
其中
1 A () f () c o sd ,
1 B () f () s i nd .
11
傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间(-，+)上满
2
ak
k
x2coskxdx
0
2 2 4 1
3
k2
k=1
利用帕塞瓦尔等式
1
x4dx2(32)216k =1k14
1 2
k2
k =1
6
1 4
k4
=1
90
例：
1 2
f(x ) 1 2c o sx2k = 0a kc o sk x , ( < 1 )
1 (12)coskx
足条件(1) 在任意有限区间满足狄里希利条件；(2)
在区间 (-，+ )上绝对可积（即
f ( x) dx
收敛），
则f(x) 可表为 傅里叶积分，且傅里叶积分值=
[f(x 0 )f(x 0 )]/2
f(x ) 0A ()c o sx d 0B ()s inx d
第五章 傅里叶变换
5.1 傅里叶级数
（一） 周期函数的傅里叶展开
f(x2l)f(x) 周期2l
三角函数族： 1,cosx,cos2x,L ,coskx,L
l
l
l
sinx,sin2x,L ,sinkx,L
l
l
l
正交性：如
l k x n x
c o s c o s d x0 (kn ),
l
l
l
f(x)a0k 1 akcosklxbksinklx
k
akcosklxbksinklx
（ ak， bk） ak 2ibk,ak 2ibk （ck ，ck）
其中
1
ck
2l
l l
f()[eikl]*d.
ck ck* 7
作业： 证明帕塞瓦尔等式
P72,1,3,4(2),5(2)(3)
例： f(x)x2, (<x<)
x2
2
4 (1)k
3 k=1
1 k2coskx
偶延拓
x
奇延拓
6
（四） 复数形式的傅里叶展开
ik x
ix
x
i
k x
i
L ,e l ,L ,el ,1 ,el ,L ,el ,L
i k x
i k x
cos sin
k l
k l
x x
e l
e
i
k
l
x
e l 2
i k x
e l
2i
ikx
f (x) cke l ,
k
f(x)
dz
若()在区间[0,2]连续，且为2的周期函数，其傅里叶级数为
() ckeik k
ck
1
2
2()eikd
0
z ei
12
f(x)
,
1(z1)2
z
(zeix)
(12)z
11
(1z)(1z)1z1z
< 1 < z < 1 < 1
z <1
<1
z
1 (z 1 ) L k (z k1)L 1 2kc o sk x