2015考研数学综合强化课概率论与数理统计主讲老师：方浩第一章随机事件与概率（一）随机试验和样本空间1.[随机试验]2.[样本空间]: 随机试验所有可能发生的结果组成的集合[样本点]: 随机试验的每个可能结果3.[基本事件]:样本空间中的一个样本点组成的单点集4.[随机事件]:样本空间 的子集5.[必然事件]：随机试验中必然发生的事件，记作Ω.6.[不可能事件]：每次试验中一定不发生，记为φ.(二) 事件的关系和运算1.事件间的关系(1) 包含：A B⊃(2) 相等：.=A B(3) 和：A B.(4) 积：A B(5) 差: =-A B AB(6)互斥(互不相容)：ABφ=.(7)对立(互逆)：A B=Ω，A Bφ=. 对立事件记为B A=.2.运算律(1)交换律：;==A B B A A B B A(2)结合律：()()=A B C A B C=()()A B C A B C(3)分配律：()()()=A B C A B A C(4)对偶律(摩根律)：,==A B A B A B A B(三)概率的定义与性质 1.概率的定义(1)非负性： ()0P A ≥.(2)规范性： ()1P Ω=.(反之不成立) (3)可列可加性：12,,A A 两两互不相容 1212()()()P A A P A P A =++2.概率的性质(1)非负性： 0()1P A ≤≤.(2)规范性： ()0,()1P P ∅=Ω=.(3)有限可加性：12,,,n A A A 两两互不相容1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++.(4) ()1()P A P A =-.3.基本公式[加法公式]()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()31231231,j()i i j i i P A A A P A P A A P A A A ==-+∑∑[减法公式]()()()()P A B P A P AB P AB -=-=[逆事件] ()1()P A P A =-（四）三大概型 1.古典概型()AA n P A n=Ω中基本事件的个数中基本事件总数 2.几何概型()A P A =Ω的长度（或面积、体积）的长度（或面积、体积）3.伯努利概型[定义]：随机试验只有两个可能结果：A 和A ；每次试验A 发生概率相等()P A p =[结论]：n 重伯努利试验，事件A 发生k 次的概率：(,)(1)(0,1,2,,)kkn kk nB n pC p p k n -=-= .（五）条件概率，乘法公式，独立性1.条件概率：()0P A >，A 发生条件下B 发生的概率()()()P AB P B A P A =2.条件概率的性质(1) 非负性：0(|)1P B A ≤≤ (2) 规范性：(|)1P A Ω=(3) 逆事件：(|)1(|)P A B P A B =- (4) 加法公式：121212(|)(|)(|)(|)P A A B P A B P A B P A A B =+-减法公式：12112(|)()(|)P A A B P A B P A A B -=-3.乘法公式()()()P AB P B A P A = 12121211()()()()n n n P A A A P A A A A P A A P A -=4.两个事件的独立性定义：()()()P AB P A P B =,称事件,A B 相互独立. 推论：设0()1P A <<，,A B 独立()(|)(|)P B P B A P B A ⇔==性质：,A B 独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立5.三个事件的独立性1)()()()=；P AB P A P B2)()()()P AC P A P C=；3)()()()=；P BC P B P C4)()()()()=；P ABC P A P B P C满足1-3：称三个事件,,A B C两两独立. 满足1-4：称三个事件,,A B C相互独立.(六)全概率公式与贝叶斯公式 1.完备事件组：若事件1,n A A =Ω,1i j A A i j n φ=≤≠≤，称事件1,,n A A 是一个完备事件组.2.全概率公式：1()()()ni i i P B P A P B A ==∑.3.贝叶斯公式：()1()()()()j jj niii P B A P A P A B P A P B A ==∑[题型一概率的基本计算] 【例1.1】()___A B C=()()A AB C()()B A B C()()()C A B A C()()()D A B A C【P332，例1】事件,A B ，满足1()()2P A P B ==和()1P A B =则有( )（A ）A B =Ω （B ）AB φ= （C ）()1P A B = （D ）()0P A B -=【例】设事件,A B互不相容,则（）()()0A P AB=()()()()=B P AB P A P B()()()=-C P A P B1()()1D P A B=【P332，例2】设,Y X 为2个随机变量，且{}30,Y 07P X ≥≥=,{}{}4007P X P Y ≥=≥=则(){}max ,0=___P X Y ≥【P328，4】设,,A B C 是随机事件，且()()()14P A P B P C ===,()()0P AB P BC ==,()18P AC =,求,,A B C 都不发生的概率【例】()()===,则P A P B P AB()0.3,0.4,0.5()___P B A B=【例】设相互独立的事件A,B都不发生的概率是1，且A发生B不发生的概率与B发生A不发生9的概率相等，求A发生的概率【例】()()111(),,432P A P B A P A B ===,则()___P A B =[题型二三大概型]【例】()0,1之间任取两个数，乘积小于12的概率____【例】区域()22:20D x y x y +≤≥内任取一点，求该点与坐标原点的连线和X 轴正方向所围成的夹角小于3π的概率【P329，7】设一厂家生产的每台仪器以概率0.7可直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后，以概率0.8出厂，以概率0.2定为不合格，不能出厂，现该厂生产了(2)台仪器(设各台n n≥生产过程相互独立).求(I)所有机器都能出厂的概率α.(II)其中恰好有两件能出厂的概率β.(III)至少有两件不能出厂的概率θ.[题型三 条件概率与独立性]【P328，例1】设,A B 是两个随机事件,()()01,0P A P B <<> ()()P B A P B A =则下列选项中正确的是___()()() A A B A B =P P ()()()B A B A B ≠P P ()()()()C AB A P B =P P ()()()()D AB P A P B ≠P【例】设0()1,0()1P A P B <<<<，(|)(|)1P A B P A B += 则( )（A ）A,B 互不相容 （B ）A,B 互逆 （C ）A,B 相互独立 （D ）A,B 不独立【P329，例3】将一枚硬币连续投掷两次，定义事件1A ：第一次出现正面，2A ：第二次出现正面，3A ：正反面各出现一次，4A ：两次都是出现正面，则下列说法正确的是（ ）（A ）123,,A A A 相互独立（B ）234,,A A A 相互独立（C ）123,,A A A 两两独立（D ）234,,A A A 两两独立【例】设,,A B C是三个相互独立的随机事件，且<<，则下列给定的四对事件中不一定相互0()1P C独立的是 ( )()A A B与C()B A C与C-与CC A B()D AB与C()【题型四全概率公式与贝叶斯公式】【P327，例4】在1,2,3,4中任取1个数为X，再从1,X中任取一个数为Y，则{}2___P Y==【P326，例3】设工厂A,B的产品的次品率分别为1%和2%，现在从由产品A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取1件（1）求该产品是次品的概率（2）已知取出为次品，求该次品属于A生产的概率【例 1.9】设有甲、乙两个箱子，甲箱中有m只白球，n个红球，乙箱中有a个白球，b个红球，现从甲箱中任意取出一只放入乙箱，再从乙箱中任取出一球，求（1）从乙中取出的是白球的概率（2）已知从乙中取出的是白球，从甲放入乙中的是白球的概率（3）已知从乙中取出的是白球，从甲放入乙中的是红球的概率【例】甲乙两名运动员进行打靶训练，每次打靶甲中靶的概率为0.5，乙中靶的概率为0.3，甲乙两人都中靶的概率为0.2，每次打靶中只要有一人中靶就称为此次打靶合格，第n次()3n>打靶α=合格恰好是第3次合格的概率___63。