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s
0
ds 0 ( z ) z
（5-53）
其中， 0 ( z ) 是任意积分函数，其物理意义表示曲线坐标 s 0 点的剪应力。
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将式（5-47）代入到（5-53），则
( z, s) E ' ' ' ( z) (s)ds 0 ( z)
将式（5-45）、（5-46）代入式（5-39）中，有
（5-46）
( z, s) E ' ' ( z) (s)
（5-47）
从上式中可以看出，截面上约束扭转正应力的分布是和广义扇性坐标成正比的。对应扇性零点的物理意义 是：该点上广义扇性坐标为零，或者说正应力为零，因而在该点上的积分起始值也是零。
0

，则
s s ds u ( z , s ) u 0 ( z ) ' ( z ) ( s )ds 0 ds 0 J s ds s u 0 ( z ) ' ( z ) ( s )ds d 0 0
u ( z, s) u0 ( z )
s M K s ds ' ( z ) 0 (s)ds G 0
（5-31）
对于闭口薄壁杆件，由截面 s 0 处的位移连续条件可得，即
u ( z, s) u 0 ( z )
化简，得
M K ds ' ( z ) ( s)ds u 0 ( z ) G
0
s
（5-54）
令
S (s)ds
0
s
（5-55）
则
( z, s) E ' ' ' ( z)S 0 ( z)
（5-56）
图 5-12 薄壁箱梁在扭转力矩 M（注：图中 Mk 应修改为 M）
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初始剪力流 0 ( z ) ，如图 5-12，由薄壁箱梁内、外力平衡条件可得
（5-37）
z u0 ' ( z,0) ' ' ( z) (s)
（5-38）
5.2.1 约束扭转正应力
闭口薄壁截面约束扭转正应力为
E[u0 ' ( z,0) ' ' ( z) (s)]
（5-39）
由于杆件截面仅有扭转力矩 M ，故截面上的轴力 N 、绕两个轴的弯矩 M x , M y 均为零，即翘曲应力 （或约束扭转正应力）是自相平衡的，根据力的平衡，可列出如下方程：
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5.2.2 约束扭转剪应力
在闭口薄壁截面杆件中面上任取一 M ( z, s) 点附近微元体，如图 5-11 所示。
图 5-11 闭口薄壁截面杆件中面上任取一点 M ( z, s)
由力的平衡条件可知，
0 z s
对上式积分，即
（5-52）
( z, s)
当截面周边不变形时，切线位移为
（5-63）
v ( s) ( z )
式中： ( z ) 为截面的扭转角。 将式（ 5-64）微分一次，并代入式（ 5-63），则
（5-64）
u (s) ' ( z ) s G
将式（5-60）代入上式，即
（5-65）
u M E ' ' ' ( z ) S ( s) ' ( z ) s G G
（5-61）
由公式（5-28）可知，上式还可以写成如下表达式
( z, s)
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（5-62）
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5.2.3 ( z ) 函数的确定
对于闭口截面而言 ，为确定约束扭转 正应力和 剪应力， 必须先确定函数 ( z ) 。故必须先列出薄壁杆 件约束扭转微分方程 式：
u v s z G
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N 0, ds 0 M 0, yds 0 M 0, xds 0
x y
（5-40）
将（5-39）代入到（5-40）中，则有
u ' ( z,0) ds "( z ) ( s)ds 0 u ' ( z,0) yds "( z ) ( s) yds 0 u ' ( z,0) xds "( z ) ( s) xds 0
第五讲 薄壁箱梁约束扭转
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5.2 闭口截面的约束扭转
乌曼斯基闭口薄壁杆件约束扭转理论基本假定： 横截面周边不变形； 横截面上的法向应力和剪切应力沿壁厚是均匀分布的；
横截面上轴向位移沿本截面的分布规律与自由扭转时是相同的。
图5-10 薄壁杆件约束扭转
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令轴向位移为 u ( s, z ) ， z 为纵向坐标， s 表示沿横截面周边。当闭口截面发生自由扭转时，由式（4-9） 可知，薄壁截面轴向位移为：
对式（ 5-66）积分，有
（5-66）
u ( z, s)
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s M s ds E ' ' ' ( z ) s ds S ' ( z ) 0 0 (s)ds u0 ( z) G 0 G
（5-67）
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为了满足周期条件（或变形协调条件），沿周边积分一周后 u( z, s) u0 ( z) ，即
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与开口截面薄壁杆件类似，闭口截面薄壁杆件的广义内力——双力矩定义如下：
B( z ) ( z , s ) ( s ) dF
将式（5-47）代入上式，即
（5-48）
B( z ) E ' ' ( z ) ( s) 2 dF EJ ' ' ( z )
5
将式（5-42）、（5-43）代入到式（5-41）中，有
u ' ( z,0) ds 0 u ' ( z,0) yds 0 u ' ( z,0) xds 0
当截面对称，且扇性零点为对称轴与周边的交点时，有 （5-44）
u ' ( z,0) 0
则
（5-45）
u ( z,0) const
（5-76）




对式（5-76）化简，则
J M ' ( z ) ' ( z ) 1 d GJ J
令
（5-77）
1
则式（5-77）记为
Jd J
（5-78）
M ' ( z) ' ( z) GJ
2 2 式中： J ds dF 为截面的极惯性矩；
M ds E ' ' ' ( z ) S 0 ( z ) ds 0 ( z ) ds E ' ' ' ( z ) S ds
故
（5-57）
0 ( z )
将式（5-58）带入到（5-56）中，有
M E ' ' ' ( z ) S ds
对于闭口截面的扭转中心而言，广义扇性惯性矩应该为零，即 （5-41）
Jx ( s) xds 0 Jy ( s) yds 0
S ( s )ds 0
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（5-42）
当选择适当的积分起点（扇性坐标零点，即 S 坐标的起点）时，使广义扇性静矩也等于零，则 （5-43）


EJ ' ' ' ' ( z) GJ d ' ' ( z) mt
由式（5-37）可知，
（5-71）
u( z, s) u0 ( z) ' ( z) (s)
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（5-72）
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由于 ( s )

s
0
( s )ds

ds

s
ds
将（5-69）对 z 微分一次，并将各项除以
（5-69）


，且将 ( s ) ds 代入，即

dM K ds 2 E ' ' ' ' ( z ) S G ' ' ( z ) 0 ds ds dz


（5-70）
ds dM 2 S 令 mt ，Jd （自由扭转惯性矩）， J （扇性惯性矩），则式（5-70）可记为 ds ds dz
2 式中， J 为闭口薄壁截面广义主扇性惯性矩，即 J ( s ) dF 。
（5-49）

' ' ( z)
将式（5-50）代入到（5-47）中，有
B( z ) EJ
（5-50）
( z, s)
B( z ) ( s) J
（5-51）
上式即为闭口薄壁杆件截面约束扭转正应力与双力矩的关系。
（5-32）
G 2 MK '( z) ds

（5-33）
将（5-33）代入到（5-31）中，则有
令
s s ds u ( z, s) u0 ( z ) ' ( z ) ( s)ds 0 0 ds s s ds (s) (s)ds 0 ds 0
J 1 G ' ( z ) d ( s ) ' ( z )